Limite di funzione in due variabili

[Anto0071]

Ciao a tutti, rieccomi qui
Devo studiare il seguente limite: $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2y^2)/(x^4+3y^4) $
ho cominciato facendo una restrizione lungo gli assi
impongo $y=0$ la funzione diventa: $ f(x,0)=1/x^2 $ $ lim_(x -> 0) 1/x^2=+infty $
con $x=0$ la funzione sarà : $ f(0,y)= 1/(3y^2) $ $ lim_(y -> 0) 1/(3y^2)=+infty $
imponendo invece $y=mx$ la funzione sarà $f(x,mx)=(x^2(mx)^2)/(x^4+3(mx)^4)$
$ lim_(x -> 0)(m^2x^4)/(x^4(1+3m^4))= m^2/(1+3m^4)$ al variare di $m$ avrò:
$m=1 rarr 1/4$ , $m=2 rarr 4/7$, $m=3 rarr 3/4$
ho ragionato nel modo corretto?? Posso quindi concludere che il limite con esiste?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Anto007":impongo $y=0$ la funzione diventa: $ f(x,0)=1/x^2 $

Ne sei sicuro?

[Anto0071]

dimmi pure dove ho sbagliato!!!

[Anto0071]

$f(x,0)=0$ per $y=0$ e quindi anche per $x=0$ sarà $f(0,y)=0$ corretto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Non puoi sostituire $x=0$ e nemmeno $y=0$, la funzione argomento del limite non è definita in questi due casi (otterresti $0/0$, che non ha significato). Il ragionamento con $y=mx$ ha più senso ma ti sei dimenticato del $3$. In ogni caso il limite non esiste.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ah no scusa mi sono confuso, se metti $x=0$ ottieni $0$ per $y$ diverso da zero e viceversa. In ogni caso ti consiglio di concentrarti su $y=mx$.

[Anto0071]

"Martino": Il ragionamento con $y=mx$ ha più senso ma ti sei dimenticato del $3$. In ogni caso il limite non esiste.

dove non l'ho messo??

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Anto007":$f(x,mx)=(x^2(mx)^2)/(x^4+3(mx)^4)$
$ lim_(x -> 0)(m^2x^4)/(x^4(1+m^4))= m^2/(1+m^4)$

Qui. C'è un $3$ al denominatore nella prima riga che scompare nella seconda.

[Anto0071]

Oddio hai ragione!! A stomaco vuoto non si ragiona bene correggo subito. Grazie mille.. per quanto riguarda l'imposizione $y=mx$ e le successive considerazioni sono corrette? C'è altro che posso fare? È il mio primo esercizio del genere...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Anto007":$m^2/(1+3m^4)$ al variare di $m$ avrò:
$m=1 rarr 1/4$ , $m=2 rarr 4/7$, $m=3 rarr 3/4$

Questi calcoli sono sbagliati.

Ma non serve che fai tutto questo. Basta che sostituisci $y=x$ e $y=2x$. Vengono due limiti diversi quindi il limite non esiste. Fine.

[pilloeffe]

Ciao Anto007,

Beh, in realtà l'hai tirata un po' per le lunghe...
Infatti

"Anto007":imponendo invece $y=mx$ la funzione sarà $f(x,mx)=(x^2(mx)^2)/(x^4+3(mx)^4) $
$\lim_{x \to 0} (m^2 x^4)/(x^4(1+3m^4)) = m^2/(1+3m^4) $

Da ciò che hai scritto si vede che il risultato del limite dipende da $m$, quindi puoi concludere subito che il limite proposto non esiste.

[Anto0071]

Buongiorno, grazie ad entrambi per avermi risposto. Quindi una volta appurato che il valore del limite varia al variare di $m$ posso concludere che il limite non esiste.

[Anto0071]

"Martino":[quote="Anto007"]$m^2/(1+3m^4)$ al variare di $m$ avrò:
$m=1 rarr 1/4$ , $m=2 rarr 4/7$, $m=3 rarr 3/4$

Questi calcoli sono sbagliati.[/quote]
Si me ne sono accorta dopo che ho spento il pc, Sarebbero $m=1 rarr 1/4$, $m=2 rarr 4/13$, $m=3 rarr 9/28$

[pilloeffe]

"Anto007":Quindi una volta appurato che il valore del limite varia al variare di $m$ posso concludere che il limite non esiste.

Sì.

"Anto007":Si me ne sono accorta dopo che ho spento il pc, Sarebbero $m=1 \rarr 1/4, m=2 \rarr 4/13, m=3 \rarr 9/28 $

No...
Per $m = 1 $ si ha $1^2/(1+3 \cdot 1^4) = 1/4 $;
per $m = 2 $ si ha $2^2/(1+3 \cdot 2^4) = 4/49 $;
per $m = 3 $ si ha $3^2/(1+3 \cdot 3^4) = 9/244 $