Limite di funzione in 2 variabili
Ciao a tutti, devo calcolare il limite di questa funzione in 2 variabili, ma ho qualche dubbio sul fatto che sia giusto:
$f(x) = (sin^2(xy))/(3x^2 + 2y^2)$
Ora, se prendo la restrizione lungo $y = x$ avrò $lim_(x->0) (sin^2(x^2))/(5x^2) = lim_(x->0) x^4/(5x^2) = 0$ Quindi zero è il candidato ad essere il limite.
Se poi prendo la restrizione lungo $y = x^2$ avrò $lim_(x->0) (sin^2(x^3))/(3x^2 + 2x^4) = x^6/x^2 = 0$
Quindi il limite dovrebbe essere zero. Ma se faccio il limite con le coordinate polari, ponendo $x = \rhocos\phi$ e $y = \rhosen\phi$ soi avrà $lim_(\rho->0^+) Sup|sin^2(\rho^2cos\phisen\phi)|/|3\rho^2cos^2\phi + 2sen^2\phi|$ e utilizzando il teorema del confronto posso dire che $|sin^2\rho^2cos\phisen\phi|/|3\rho^2cos^2\phi + 2sen^2\phi| < |\rho^2cos\phisen\phi|/|\rho^2 (3cos^2\phi + 2sen^2\phi)| < 1/3$ Dove i due $\rho^2$ si semplificano. Quindi il limite trrovato con le coordinate è diverso da zero, il che significa che tale funzione non ha limite nell' origine.
A questo punto la mia domanda è: dove ho sbagliato ? Visto che: utilizzando le restrizioni lungo una certa f(x,y) ottengo un limite corretto, mentre nel secondo modo trovo che il limite non esiste..
Grazie a tutti..
$f(x) = (sin^2(xy))/(3x^2 + 2y^2)$
Ora, se prendo la restrizione lungo $y = x$ avrò $lim_(x->0) (sin^2(x^2))/(5x^2) = lim_(x->0) x^4/(5x^2) = 0$ Quindi zero è il candidato ad essere il limite.
Se poi prendo la restrizione lungo $y = x^2$ avrò $lim_(x->0) (sin^2(x^3))/(3x^2 + 2x^4) = x^6/x^2 = 0$
Quindi il limite dovrebbe essere zero. Ma se faccio il limite con le coordinate polari, ponendo $x = \rhocos\phi$ e $y = \rhosen\phi$ soi avrà $lim_(\rho->0^+) Sup|sin^2(\rho^2cos\phisen\phi)|/|3\rho^2cos^2\phi + 2sen^2\phi|$ e utilizzando il teorema del confronto posso dire che $|sin^2\rho^2cos\phisen\phi|/|3\rho^2cos^2\phi + 2sen^2\phi| < |\rho^2cos\phisen\phi|/|\rho^2 (3cos^2\phi + 2sen^2\phi)| < 1/3$ Dove i due $\rho^2$ si semplificano. Quindi il limite trrovato con le coordinate è diverso da zero, il che significa che tale funzione non ha limite nell' origine.
A questo punto la mia domanda è: dove ho sbagliato ? Visto che: utilizzando le restrizioni lungo una certa f(x,y) ottengo un limite corretto, mentre nel secondo modo trovo che il limite non esiste..
Grazie a tutti..
Risposte
Ciao. I limiti lungo le restrizioni ti danno un'idea del risultato, ma il limite potrebbe anche non esistere.
Il ragionamento fatto in polari ti dice che il limite, se esiste, è minore di 1/3, quindi può ancora essere 0.
In effetti il limite fa 0, come provano le seguenti minorazioni:
$ 0<=(sen^2 (xy))/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(2x^2 + 2y^2)=1/2 x^2 * (y^2)/(x^2 + y^2) <=1/2 x^2 $
A questo punto basta scegliere un intorno abbastanza stretto in $x$...
Il ragionamento fatto in polari ti dice che il limite, se esiste, è minore di 1/3, quindi può ancora essere 0.
In effetti il limite fa 0, come provano le seguenti minorazioni:
$ 0<=(sen^2 (xy))/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(2x^2 + 2y^2)=1/2 x^2 * (y^2)/(x^2 + y^2) <=1/2 x^2 $
A questo punto basta scegliere un intorno abbastanza stretto in $x$...
"robbstark":
Ciao. I limiti lungo le restrizioni ti danno un'idea del risultato, ma il limite potrebbe anche non esistere.
Il ragionamento fatto in polari ti dice che il limite, se esiste, è minore di 1/3, quindi può ancora essere 0.
In effetti il limite fa 0, come provano le seguenti minorazioni:
$ 0<=(sen^2 (xy))/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(3x^2 + 2y^2) <= (x^2 y^2)/(2x^2 + 2y^2)=1/2 x^2 * (y^2)/(x^2 + y^2) <=1/2 x^2 $
A questo punto basta scegliere un intorno abbastanza stretto in $x$...
Ah giusto, in effetti avevo interpretato male il risultato, perchè sul libro c'è scritto che, attraverso le polari, se si ottiene come risulatato zero la funz. ha limite. E in effetti un risultato minore di 1/3 può essere zero.
Cmq con l' ultima frase che hai scritto non ho capito bene cosa volevi dire. Cioè, a questo punto non basterebbe scrivere che $lim_(x->0) 1/2x^2 = 0$ ? O intendevi dire che ci vorrebbe qualche ragionamento in più ?
No no, basta come dici tu.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo