Limite di funzione in 2 variabili
Salve a tutti.
Tra gli esercizi del mio programma ho trovato questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4 $
Credo che ci sia da capire il comportamento intorno al punto $ P_o $ in questione $ (0,0) $.
Per questo pensavo di calcolare le derivate parziali $ f_x $ e $ f_y $ della funzione e poi sostituire i valori $ x=0 $ e $ y=0 $
Ma ottengo:
$ f_x= y^2 / (2x) $
e
$ f_y= (2xy) / (2y) $
che mi porterebbe in entrambi i casi a $ 0/0 $
Non so proprio cosa fare...
Grazie
Tra gli esercizi del mio programma ho trovato questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4 $
Credo che ci sia da capire il comportamento intorno al punto $ P_o $ in questione $ (0,0) $.
Per questo pensavo di calcolare le derivate parziali $ f_x $ e $ f_y $ della funzione e poi sostituire i valori $ x=0 $ e $ y=0 $
Ma ottengo:
$ f_x= y^2 / (2x) $
e
$ f_y= (2xy) / (2y) $
che mi porterebbe in entrambi i casi a $ 0/0 $
Non so proprio cosa fare...
Grazie
Risposte
Da questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4 $
devo fare riferimento a questo limite notevole ?
$ lim_((x) -> (0)) (1-cos(x))/(x^2 $
Quindi moltiplico e divido per la stessa quantità così:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4) (1+cos(xy))/ (1+cos(xy)) $
ottenendo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sen^2(xy))/(x^4+y^4) 1/ (1+cos(xy)) $
E adesso su cosa devo ragionare?
Dovrò "lavorare" anche su
$ x^4+y^4 $ ma come?
Non so proprio cosa fare...
Grazie
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4 $
devo fare riferimento a questo limite notevole ?
$ lim_((x) -> (0)) (1-cos(x))/(x^2 $
Quindi moltiplico e divido per la stessa quantità così:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (1-cos(xy))/(x^4+y^4) (1+cos(xy))/ (1+cos(xy)) $
ottenendo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sen^2(xy))/(x^4+y^4) 1/ (1+cos(xy)) $
E adesso su cosa devo ragionare?
Dovrò "lavorare" anche su
$ x^4+y^4 $ ma come?
Non so proprio cosa fare...
Grazie
Il suggerimento di TeM intendeva portari a questa trasformazione:
\begin{align}
\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^4+y^4}=\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^2y^2}\cdot \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}.
\end{align}
\begin{align}
\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^4+y^4}=\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^2y^2}\cdot \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}.
\end{align}
"Noisemaker":
Il suggerimento di TeM intendeva portari a questa trasformazione:
\begin{align}
\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^4+y^4}=\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{1-\cos(xy)}{x^2y^2}\cdot \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}.
\end{align}
Grazie
Quindi adesso potrei applicare anche il passaggio che dicevo io?
Così mi porterei a questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ((sen(xy))/(xy))^2. (1/(1+cos(xy))). ((x^2y^2)/(x^4+y^4)) $
con il primo termine che ha limite 1 ? (come per i limite notevoli delle funzioni ad 1 incognita?)
Il secondo termine ha limite 1/2 ?
Per l'ultima parte a cosa devo pensare?
EDIT: Grazie anche a Noisemaker
"TeM":
Dunque, abbiamo \[ \lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)} \frac{1-\cos(x\,y)}{x^4+y^4} = \lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)} \frac{1-\cos(x\,y)}{x^4+y^4} \frac{x^2y^2}{x^2y^2} = \frac{1}{2}\lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)} \frac{x^2y^2}{x^4+y^4} \; . \]
Bene
"TeM":
A questo punto, ci sono essenzialmente due strade:
[list=1]1) dimostrare la non esistenza del limite facendo riferimento al teorema di unicità del limite;[/list:o:2z9wh47i] [list=2]2) dimostrare l'esistenza e quindi determinare il valore a cui tende il limite tramite il teorema del confronto.[/list:o:2z9wh47i]
Devo passare alle coordinate polari ?
Sinceramente mi sento molto impreparato sull'argomento...
"TeM":
Lo si nota. Per tal motivo ti consiglio di studiare le due paginette del tuo libro che trattano i limiti di funzioni di più variabili e a quel punto tornare qui con qualche idea personale.
Ci sto lavorando...
"tornerò" presto
Se non ho capito male:
"se esiste un limite direzionale, questo sarà valido per ogni direzione"
Quindi studio
$ lim_(t -> 0) f(th,tk) $
ottenendo
$ lim_(t -> 0) ((t^2h^2t^2k^2)/(t^4h^4+t^4k^4)) $
da cui, semplificando,
$ lim_(t -> 0) ((h^2k^2)/(h^4+k^4)) $
che non dipende da t quindi devo aver sbagliato il ragionamento...
se invece faccio il limite ristretto alla curva $ y=x^2 $
ottengo
$ lim_(x -> 0) ((x^2x^4)/(x^4+x^8)) $
da cui
$ lim_(x -> 0) ((x^6)/(x^4(1+x^4))) $ ed
infine
$ lim_(x -> 0) ((x^2)/(1+x^4))=0 $
Ma a questo punto che posso dire?
Che siccome la restrizione porta ad un risultato e il lim direzionale ad un altro, il lim non esiste?
"se esiste un limite direzionale, questo sarà valido per ogni direzione"
Quindi studio
$ lim_(t -> 0) f(th,tk) $
ottenendo
$ lim_(t -> 0) ((t^2h^2t^2k^2)/(t^4h^4+t^4k^4)) $
da cui, semplificando,
$ lim_(t -> 0) ((h^2k^2)/(h^4+k^4)) $
che non dipende da t
quindi devo aver sbagliato il ragionamento... se invece faccio il limite ristretto alla curva $ y=x^2 $
ottengo
$ lim_(x -> 0) ((x^2x^4)/(x^4+x^8)) $
da cui
$ lim_(x -> 0) ((x^6)/(x^4(1+x^4))) $ ed
infine
$ lim_(x -> 0) ((x^2)/(1+x^4))=0 $
Ma a questo punto che posso dire?
Che siccome la restrizione porta ad un risultato e il lim direzionale ad un altro, il lim non esiste?
"TeM":
A farla semplice, siamo interessati a calcolare un limite che per definizione significa trovare a quanto tende una funzione avvicinandoci al punto in questione. Qualora si trovino almeno due direzioni (rispetto alle quali decidiamo
di avvicinarci a tal punto) in cui determiniamo due valori differenti, tale limite non esiste per il teorema di unicità
del limite.
In sostanza, che si fa? Si prova ad avvicinarsi percorrendo le rette del fascio centrato nell'origine \(y=m\,x\) (dato che è il punto in esame) e si osserva ciò che si ottiene: se il valore attenuto dipende da \(m\) allora il limite non esiste, altrimenti nulla può dirsi a priori (solitamente si passa ai fasci di parabola oppure si tenta a dimostrarne l'esistenza percorrendo la seconda strada sopra scritta).
In particolare, abbiamo \[ \lim_{x\to 0} f(x,\,m\,x) = \frac{m^2}{m^4+1} \] quindi... ??
Decisamente dipende da m, quindi il limite non esiste, giusto?
Quindi posso adottare questa ricerca anche per uno studio come questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (|x+2y|)/root()(|x|+|y|) $ ?
Che anche in questo caso dipenderà da m, quindi il limite non esiste...
"robying":
Quindi posso adottare questa ricerca anche per uno studio come questo:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (|x+2y|)/root()(|x|+|y|) $
"TeM":
Mostraci i passaggi che ne discutiamo
Intanto ancora grazie
bene...
$ lim_(x -> 0) f(x,mx) = lim_(x -> 0) (|x+2mx|)/root()(|x|+|mx|) $
da cui
$ lim_(x -> 0) (|x+2mx|)/root()(|x|+|mx|) <= (|x|+|2mx|)/root()(|x|+m|x|) $
poi
$ lim_(x -> 0) (|x|+2m|x|)/root()(|x|+m|x|) =
lim_(x -> 0) (|x|(1+2m))/((1+m)^(1/2) (|x|^(1/2)))=
lim_(x -> 0) (|x|^(1/2)(1+2m))/((1+m)^(1/2))
$
Va bene così?
"TeM":
Mmm l'hai un po' maltrattato quel valore assoluto!! In ogni modo, semplificando... \[ \lim_{x\to 0} f(x,\,m\,x) = \lim_{x\to 0} \frac{\left|x+2mx\right|}{\sqrt{|x|+|m\,x|}} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|\,|1+2m|}{\sqrt{|x|}\sqrt{1+|m|}} = \lim_{x\to 0} \frac{|1+2m|}{\sqrt{1+|m|}}\sqrt{|x|} = 0 \; \; \forall \, m\in\mathbb{R} \; . \] Quindi, ciò che significa?
che devo studiare meglio le proprietà del valore assoluto
...e che se il lim è 0 $ AA m in mathbb(R) $ (cioè in ogni direzione) allora il lim che sto cercando è proprio 0,
perchè il risultato è indipendente da m, giusto?
Vediamo se ho capito:
con questo limite
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2|siny|)/(x^2+y^4) $
passo a
$ lim_(x -> 0)f(x,mx) = (x^2|sinmx|)/(x^2+m^4x^4) =(x^2|msinxcosx|)/(x^2(1+m^4x^2))=(|m||sinxcosx|)/(1+m^4x^2) $
Ma questa volta la x è tanto al numeratore quanto al denominatore, quindi il risultato del limite non è 0
, giusto?In questo caso come procedo?
Non ho "non visto" qualcosa, giusto?
"TeM":
Allora, che si fa? Si passa al piano b, si tenta di dimostrare che il limite esiste e vale \(0\). Perché proprio zero? Bhé, è
il "sospetto" che ci è sorto provando a dimostrare la non esistenza dato che abbiamo ottenuto sempre tale valore.
In particolare, abbiamo \[ 0 \le \left|\frac{|x+2y|}{\sqrt{|x|+|y|}}-0\right| = \frac{|\rho\cos\theta+2\rho\sin\theta|}{\sqrt{|\rho\cos\theta|+|\rho\sin\theta|}} \le \cdots \] continui tu?
Certo, o meglio ci provo...
Quindi provando con il $ lim x -> 0 (f(x,ax^2)) $ ottengo sempre qualcosa di inconcludente e così con $ y=kx^3 $, giusto?
Allora proseguo dal tuo passaggio:
... $ <= (|rho|(|costheta|+2|sintheta|))/(root()(|rho|(|costheta|+|sintheta|)))= (root()(|rho|)(|costheta|+2|sintheta|))/(|costheta|+|sintheta|)<= rho->0 $
Quindi adesso sono sicuro che il limite che cerco è proprio 0 ?
"TeM":
[quote="robying"]con questo limite
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2|siny|)/(x^2+y^4) $
Per prima cosa vedi di sbarazzarti di quel seno rifacendoti ad un famoso limite notevole. Solo a quel punto passa al piano a e se fallisce al piano b. (Prima però consiglierei di finire il precedente esercizio, altrimenti si fa confusione.)[/quote]
Intanto ancora grazie, mi stai facendo fare "passi da gigante"
Allora, da qua
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2|siny|)/(x^2+y^4) $
mi porto a questo (moltiplicando e dividendo per x, giusto?)
EDIT: mi porto a questo (moltiplicando e dividendo per y, giusto?)
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2y)/(x^2+y^4)(|siny|/y) $
poi passo alla fase a:
calcolo
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (mx^3)/(x^2+m^4x^4) =
lim_(x -> 0) (mx)/(1+m^4x^2) =0 $ $ AAm in R $
Quindi devo passare di nuovo alla fase b, giusto?
Allora avrò
$ (rho^2cos^2thetasin theta)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)= (cos^2thetasin theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)<=rho->0 $
Avrò quindi ancora come limite il valore 0 ?
EDIT: credo di aver scritto un'eresia! ...perchè il risultato verrebbe $ (____)/rho = oo $
perchè $ rho -> 0 $ , giusto?
Allora, da qua
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2|siny|)/(x^2+y^4) $
con la dovuta correzione
mi porto a questo (moltiplicando e dividendo per |y|)
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2y)/(x^2+y^4)(|siny|/|y|) $
poi passo alla fase a:
calcolo
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (mx^3)/(x^2+m^4x^4) =
lim_(x -> 0) (mx)/(1+m^4x^2) $ che non mi porta da nessuna parte (il lim non è 0, giusto?)
Fino qua mi sembra di aver fatto bene, nessun errore...
Devo passare al piano b, giusto?
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2|siny|)/(x^2+y^4) $
con la dovuta correzione
mi porto a questo (moltiplicando e dividendo per |y|)
$ lim_((x,y) -> (0,0))(x^2y)/(x^2+y^4)(|siny|/|y|) $
poi passo alla fase a:
calcolo
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (mx^3)/(x^2+m^4x^4) =
lim_(x -> 0) (mx)/(1+m^4x^2) $ che non mi porta da nessuna parte (il lim non è 0, giusto?)
Fino qua mi sembra di aver fatto bene, nessun errore...
Devo passare al piano b, giusto?
"TeM":
Sì ma presta più attenzione, la \(y\) a numeratore va col valore assoluto!!
quindi sarebbe corretto scrivere
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (x^2|mx|)/(x^2+m^4x^4) =
lim_(x -> 0) (|mx|)/(1+m^4x^2) $
Comunque il risultato finale resta invariato, il lim non esiste
Grazie
[a breve scriverò la fase b, spero corretta]
Partendo da
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (x^2|y|)/(x^2+y^4) $
devo passare di nuovo alla fase b
Allora avrò
$ (rho^2cos^2theta |rhosin theta|)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)<= (|rho|cos^2theta|sin theta|)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta) $
Ma anche con questa soluzione mi trovo con $rho$ sia al numeratore che al denominatore...
Posso avanzare delle ipotesi o non ho fatto qualcosa che avrei dovuto invece fare?
Posso comunque dire che tutto è $ <=|rho| ->0 $ e che quindi il $lim = 0$ ?
[/quote]
$ lim_(x -> 0) f(x,mx)=lim_(x -> 0) (x^2|y|)/(x^2+y^4) $
devo passare di nuovo alla fase b
Allora avrò
$ (rho^2cos^2theta |rhosin theta|)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)<= (|rho|cos^2theta|sin theta|)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta) $
Ma anche con questa soluzione mi trovo con $rho$ sia al numeratore che al denominatore...
Posso avanzare delle ipotesi o non ho fatto qualcosa che avrei dovuto invece fare?
Posso comunque dire che tutto è $ <=|rho| ->0 $ e che quindi il $lim = 0$ ?
[/quote]
"TeM":
da cui si deduce che il limite esiste e vale \(0\) se e soltanto se riusciamo a stimare \(M\) (altrimenti nulla può dirsi a priori).
Dato che in questo caso è presto notato che \(M=1\) "va bene" riusciamo a concludere tale dimostrazione.
Ecco, questo non lo avevo notato.
Comunque mi hai fatto affinare di molto le capacità nel risolvere questo tipo di esercizi.
Grazie
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