Limite di funzione Hopital

[yuco15]

Ciao raga ! Sto impazendo con questo limite :

$lim_(x->+oo)(-x+sqrt(x^2-1))$

La prima cosa che ho fatto è verificare se fosse presente una forma indeterminata , ed ho scoperto che ci troviamo nel caso $+oo-oo$ .

A questo punto ho cercato di mettere in evidenza la $x$ , ma ho ottenuto un'altra F.I. , questa volta $oo * 0$ :

Ho fatto così : $lim_(x->+oo)(x*(((sqrt(x^2-1))/x)-1))$

poi ho separato in tre limiti diversi:

$lim_(x->+oo)x * ( lim_(x->+oo)sqrt(x^2-1)/x - lim_(x->+oo) 1) $ (#)

a questo punto ho trattato il limite $lim_(x->+oo)sqrt(x^2-1)/(x)$ con il teorema dell'Hopital ed ho ottenuto:

$lim_(x->+oo)sqrt(x^2-1)/(x) = lim_(x->+oo)sqrt((x^2-1)/(x^2)) = H = lim_(x->+oo) sqrt((2x)/(2x)) = lim_(x->+oo)(1) = 1$

Nell'espressione (#) ho sostituito ed ho ottenuto :

$lim_(x->+oo)x * (1-1) = lim_(x->+oo) +oo * 0 = F.I.$

Sono riuscito a fare sono questo, ossia nulla. Qualcuno può aiutarmi ? Grazie

[jitter1]

Non ho seguito il tuo svolgimento, ma puoi anche moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(x^2 - 1) + x$...

[yuco15]

ho provato a farlo , ma non riesco a capire come possa aiutarmi ...

[stagna1]

forse che ...

$ lim_(x->+oo)(-x+sqrt(x^2-1)) =$

$ = (sqrt(x^2-1)-x)*[(sqrt(x^2-1)+x)/(sqrt(x^2-1)+x]] $ $ = (x^2-1-x^2)/(sqrt(x^2-1)+x) =$

$ = -1/(sqrt(x^2-1)+x) $ $ = -1/(sqrt(x^2(1-(1/x^2)))+x) $ $ = -1/(2x) $ $ = 0 $

[jitter1]

"stagna":forse che ...

$ = -1/(sqrt(x^2-1)+x) $

Secondo me qui non si ha una forma indeterminata, ma $-1/\oo$, cioè 0....
Yuco, ma questo esercizio l'hai trovato sotto il capitolo Hopital?

[yuco15]

"jitter":[quote="stagna"]forse che ...

$ = -1/(sqrt(x^2-1)+x) $

Secondo me qui non si ha una forma indeterminata, ma $-1/\oo$, cioè 0....
Yuco, ma questo esercizio l'hai trovato sotto il capitolo Hopital?[/quote]

Scritto in quella forma, hai ragione, non c'è forma indeterminata. Cmq, lo trovato tra gli esercizi di riepilogo, ma tutti quelli precedenti e successivi erano con Hopital. In ogni caso , il risultato deve essere 0 , quindi mi trovo con voi.

[yuco15]

"stagna":forse che ...

$ lim_(x->+oo)(-x+sqrt(x^2-1)) =$

$ = (sqrt(x^2-1)-x)*[(sqrt(x^2-1)+x)/(sqrt(x^2-1)+x]] $ $ = (x^2-1-x^2)/(sqrt(x^2-1)+x) =$

$ = -1/(sqrt(x^2-1)+x) $ $ = -1/(sqrt(x^2(1-(1/x^2)))+x) $ $ = -1/(2x) $ $ = 0 $

mi è tutto chiaro tranne il penultimo passaggio, dove fai quella trasformazione nella radice ...

[poncelet]

In realtà bastava dire che per \(x \to +\infty \qquad \sqrt{x^{2}-1} \sim \sqrt{x^{2}}=x\)

[jitter1]

@maxsiviero: probabilmente sbaglio, ma in questo modo, sostituendo $sqrt(x^2 - 1)$ con $sqrt(x^2)$, non ottengo ancora la forma indeterminata $\oo - \oo$? Perché in questo caso non si tratta della differenza $x - x$ (con x intesa come variabile), ma della differenza di due funzioni "equivalenti" a x...

[poncelet]

\(\sqrt{x^{2}-1}+x \sim \sqrt{x^{2}}+x=x+x=2x\) per \(x \to +\infty\)

[jitter1]

Scusami! Pensavo ti riferissi al primo passaggio. Ciao