Limite di funzione e derivata.
Buongiorno,
ho una dimostrazione di Analisi che non riesco a risolvere.
È data per ipotesi una funzione $f$ derivabile su $R^+$.
Io so che $\lim_{x \to +\infty} f(x) + f'(x) = 0$. Da ciò devo dimostrare che $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
Intuitivamente ha senso, ma non saprei come procedere in maniera rigorosa.
Grazie in anticipo,
Riccardo.
ho una dimostrazione di Analisi che non riesco a risolvere.
È data per ipotesi una funzione $f$ derivabile su $R^+$.
Io so che $\lim_{x \to +\infty} f(x) + f'(x) = 0$. Da ciò devo dimostrare che $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
Intuitivamente ha senso, ma non saprei come procedere in maniera rigorosa.
Grazie in anticipo,
Riccardo.
Risposte
Questa è la mia idea:
Supponendo che esistano i limiti di $f(x)$ e $f'(x)$
Chiamo $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$, da cui $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = -l$. Ho che:
Supponendo che esistano i limiti di $f(x)$ e $f'(x)$
Chiamo $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$, da cui $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = -l$. Ho che:
- [*:26j2ic1s]Se $l>0$ allora $\lim_{x \to +\infty} f'(x) < 0$: $f$ è definitivamente decrescente e non ha asintoto orizzontale (poiché $\lim_{x \to +\infty} f'(x) \neq 0$), dunque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, che è assurdo poiché $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$
[/*:m:26j2ic1s]
[*:26j2ic1s]Analogamente, se $l<0$ allora $f'(x) > 0$, perciò la funzione è definitivamente crescente e non ha asintoto orizzontale, perciò $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, che è assurdo poiché $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$.[/*:m:26j2ic1s][/list:u:26j2ic1s]
Dunque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \Rightarrow l=0$..
Il problema, però, è che non riesco a dimostrare l'esistenza dei singoli limiti, che mi permette di spezzare il limite dato per ipotesi e giungere a $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = -l$.
Puoi provare considerando la funzione \(g(x) = e^x f(x)\); hai che \(g'(x) = e^x [f(x) + f'(x)]\), dunque per ipotesi
\[
\lim_{x\to +\infty} h(x) = 0, \qquad h(x) := g'(x) e^{-x}.
\]
Poiché \(g'(x) = e^x h(x)\), con \(h\in C([0,+\infty))\), avrai che \(g(x) = h(0) + \int_0^x e^s h(s) ds\). Inoltre \(h(x)\to 0\) per \(x\to +\infty\), quindi \(h\) è limitata, cioè esiste \(C>0\) tale che \(|h(x)| \leq C\) per ogni \(x\geq 0\).
Fissato \(\epsilon > 0\) sai anche che esiste \(K> 0\) tale che
\[
|h(x)| < \epsilon \qquad \forall x \geq K.
\]
Infine, sapendo che
\[
f(x) = e^{-x} g(x) = e^{-x} \left[ h(0) + \int_0^x e^s h(s)ds\right]
\]
per \(x> K\) puoi stimare \(|f(x)|\) tenendo conto delle stime per \(h\) viste sopra.
\[
\lim_{x\to +\infty} h(x) = 0, \qquad h(x) := g'(x) e^{-x}.
\]
Poiché \(g'(x) = e^x h(x)\), con \(h\in C([0,+\infty))\), avrai che \(g(x) = h(0) + \int_0^x e^s h(s) ds\). Inoltre \(h(x)\to 0\) per \(x\to +\infty\), quindi \(h\) è limitata, cioè esiste \(C>0\) tale che \(|h(x)| \leq C\) per ogni \(x\geq 0\).
Fissato \(\epsilon > 0\) sai anche che esiste \(K> 0\) tale che
\[
|h(x)| < \epsilon \qquad \forall x \geq K.
\]
Infine, sapendo che
\[
f(x) = e^{-x} g(x) = e^{-x} \left[ h(0) + \int_0^x e^s h(s)ds\right]
\]
per \(x> K\) puoi stimare \(|f(x)|\) tenendo conto delle stime per \(h\) viste sopra.
Wow, è ben oltre quello a cui avrei potuto pensare, però in effetti funziona; mi è chiaro adesso.
Grazie mille!
Grazie mille!
In realtà non è niente di che: si tratta di usare la formula di rappresentazione per le soluzioni dell'equazione differenziale \(f'(x) + f(x) = h(x)\); quello che ho fatto è stato di ricavare la formula "facendo finta" di non conoscere le equazioni differenziali 
Si può semplificare un po' la conclusione scrivendo direttamente la formula di rappresentazione a partire da \(x=K\) anziché \(x=0\).
Si può semplificare un po' la conclusione scrivendo direttamente la formula di rappresentazione a partire da \(x=K\) anziché \(x=0\).
la mia idea e' [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)}{e^x}=[/tex] D'LHospital
[tex]\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)+e^{x}f{'}(x)}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)=0[/tex]
e adesso [tex]\lim_{x\to +\infty}f{'}(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)-f(x)=0-0=0[/tex]
[tex]\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)+e^{x}f{'}(x)}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)=0[/tex]
e adesso [tex]\lim_{x\to +\infty}f{'}(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)-f(x)=0-0=0[/tex]
Mi sembra corretta e ha il vantaggio di evitare di scrivere stime esplicite.
"dennysmathprof":
la mia idea e' [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)}{e^x}=[/tex] D'LHospital
[tex]\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)+e^{x}f{'}(x)}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)=0[/tex]
e adesso [tex]\lim_{x\to +\infty}f{'}(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)-f(x)=0-0=0[/tex]
E' sbagliato perchè tu hai semplicemente riscritto.. La prima riga non sai se esiste quel limite..m La seconda riga hai semplicemente ricopiato l'ipotesi.. Perchè lim di f è zero??
"Rigel":
Puoi provare considerando la funzione \(g(x) = e^x f(x)\); hai che \(g'(x) = e^x [f(x) + f'(x)]\), dunque per ipotesi
\[
\lim_{x\to +\infty} h(x) = 0, \qquad h(x) := g'(x) e^{-x}.
\]
Poiché \(g'(x) = e^x h(x)\), con \(h\in C([0,+\infty))\), avrai che \(g(x) = h(0) + \int_0^x e^s h(s) ds\). Inoltre \(h(x)\to 0\) per \(x\to +\infty\), quindi \(h\) è limitata, cioè esiste \(C>0\) tale che \(|h(x)| \leq C\) per ogni \(x\geq 0\).
Fissato \(\epsilon > 0\) sai anche che esiste \(K> 0\) tale che
\[
|h(x)| < \epsilon \qquad \forall x \geq K.
\]
Infine, sapendo che
\[
f(x) = e^{-x} g(x) = e^{-x} \left[ h(0) + \int_0^x e^s h(s)ds\right]
\]
per \(x> K\) puoi stimare \(|f(x)|\) tenendo conto delle stime per \(h\) viste sopra.
Perchè h va zero?
"Esposito.sofia":
[quote="dennysmathprof"]la mia idea e' [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)}{e^x}=[/tex] D'LHospital
[tex]\lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^{x}f(x)+e^{x}f{'}(x)}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)=0[/tex]
e adesso [tex]\lim_{x\to +\infty}f{'}(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)+f{'}(x)-f(x)=0-0=0[/tex]
E' sbagliato perchè tu hai semplicemente riscritto.. La prima riga non sai se esiste quel limite..m La seconda riga hai semplicemente ricopiato l'ipotesi.. Perchè lim di f è zero??[/quote]
Tu puoi applicare De L'Hopital solamente se sai che da quel limite hai una forma indeterminata $[\frac{\infty}{\infty}]$, oppure $[\frac{0}{0}]$. Quando l'hai applicato tu non potevi essere sicuro che $f(x) \ne 0$; infatti, se $f(x) = 0$ (come effettivamente è), allora non puoi applicare De L'Hopital.
"LorDisturbia":
Tu puoi applicare De L'Hopital solamente se sai che da quel limite hai una forma indeterminata $[\frac{\infty}{\infty}]$, oppure $[\frac{0}{0}]$. Quando l'hai applicato tu non potevi essere sicuro che $f(x) \ne 0$; infatti, se $f(x) = 0$ (come effettivamente è), allora non puoi applicare De L'Hopital.
Non è esatto: se \(g(x)\to +\infty\) non sono necessarie ipotesi sul limite di \(f\) (a differenza del caso "0/0" per il quale è richiesto che sia numeratore che denominatore tendano a \(0\)).
Amici del forum salve
Dopo un po di tempo che avevo da fare , vedo che avete scrito cose che non esistono .
Vi prego di leggere un libro di analisi 1 , e questo metodo che ho usato e di serie.
con il permesso Rigel ha capito i movimenti che in pratica non e niente.
Grazie
Dopo un po di tempo che avevo da fare , vedo che avete scrito cose che non esistono .
Vi prego di leggere un libro di analisi 1 , e questo metodo che ho usato e di serie.
con il permesso Rigel ha capito i movimenti che in pratica non e niente.
Grazie
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