Limite di funzione. Dubbio
Ciao a tutti, ho un dubbio nel risultato di questo limite, non so ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa ma non trovo l'errore. Verificate per favore se ho sbagliato qualcosa. Grazie in anticipo
Se tutto è corretto scrivete "è corretto".
Calcolare \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \frac{\ln (\sin x)-\ln x}{x(1-\cos\sqrt{x})} \)
per prima cosa ho tratto il numeratore
ho usato gli svluppi di McLaurin siccome \(\displaystyle x\rightarrow 0 \)
\(\displaystyle \ln x=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \)
\(\displaystyle \ln (\sin x)= x-\frac{x^3}{6}-\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2}{2}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^3}{3}=x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
mettendo insieme il NUMERATORE si ha \(\displaystyle {x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)
ora tratto il DENOMINATORE
\(\displaystyle cos\sqrt{x}=1-\frac{(\sqrt{x})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x})^4}{4!}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2) \)
quindi il denominatore diventa \(\displaystyle x(1-1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+o(x^2))=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}+o(x^3) \)
mettendo insieme il TUTTO si ha
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}+o(x^3)}\sim \frac{-\frac{x^3}{6}} {\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}}=-\frac{x^3}{6}\left(\frac{2}{x^2}-\frac{24}{x^3}\right) = 4 \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \)
Non ne son convinto. Dov'è l'errore?
Se tutto è corretto scrivete "è corretto".
Calcolare \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \frac{\ln (\sin x)-\ln x}{x(1-\cos\sqrt{x})} \)
per prima cosa ho tratto il numeratore
ho usato gli svluppi di McLaurin siccome \(\displaystyle x\rightarrow 0 \)
\(\displaystyle \ln x=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \)
\(\displaystyle \ln (\sin x)= x-\frac{x^3}{6}-\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2}{2}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^3}{3}=x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
mettendo insieme il NUMERATORE si ha \(\displaystyle {x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)
ora tratto il DENOMINATORE
\(\displaystyle cos\sqrt{x}=1-\frac{(\sqrt{x})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x})^4}{4!}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2) \)
quindi il denominatore diventa \(\displaystyle x(1-1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+o(x^2))=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}+o(x^3) \)
mettendo insieme il TUTTO si ha
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}+o(x^3)}\sim \frac{-\frac{x^3}{6}} {\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{24}}=-\frac{x^3}{6}\left(\frac{2}{x^2}-\frac{24}{x^3}\right) = 4 \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \)
Non ne son convinto. Dov'è l'errore?
Risposte
Mi spiace ma dubito che il tuo sia il risultato corretto, ecco come farei:
Denominatore: $1-cos(sqrt(x))=x/2+o(x)$ $=>$ $x(1-cos(sqrt(x)))=x^2/2+o(x^2)$
Numeratore:
$sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$ $=>$ $log(sin(x))=log(x-x^3/6+o(x^3))=log(x(1-x^2/6+o(x^2))) =$
$=log(x)+log(1-x^2/6+o(x^2))=log(x)-x^2/6+o(x^2)$
$log(sin(x))-log(x)=-x^2/6+o(x^2)$
Insieme: $(-x^2/6+o(x^2))/(x^2/2+o(x^2)) \sim -x^2/6*2/x^2=-1/3$
Denominatore: $1-cos(sqrt(x))=x/2+o(x)$ $=>$ $x(1-cos(sqrt(x)))=x^2/2+o(x^2)$
Numeratore:
$sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$ $=>$ $log(sin(x))=log(x-x^3/6+o(x^3))=log(x(1-x^2/6+o(x^2))) =$
$=log(x)+log(1-x^2/6+o(x^2))=log(x)-x^2/6+o(x^2)$
$log(sin(x))-log(x)=-x^2/6+o(x^2)$
Insieme: $(-x^2/6+o(x^2))/(x^2/2+o(x^2)) \sim -x^2/6*2/x^2=-1/3$
Anche a me risulta [tex]-\frac{1}{3}[/tex], così:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x(1-\cos\sqrt{x})}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x \ln\frac{x-x^3/6}{x}}{x^2(1-\cos\sqrt{x})}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2 \ln(1-x^2/6)}{x^2}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2 \ln(1-x^2/6)}{-x^2/6}\cdot \left ( -\frac{1}{6} \right )=2\cdot 1\cdot \left ( -\frac{1}{6} \right )=-\frac{1}{3}[/tex]
avendo sviluppato il seno e con riferimento ai due limiti notevoli: [tex]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}[/tex], e [tex]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x(1-\cos\sqrt{x})}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x \ln\frac{x-x^3/6}{x}}{x^2(1-\cos\sqrt{x})}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2 \ln(1-x^2/6)}{x^2}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2 \ln(1-x^2/6)}{-x^2/6}\cdot \left ( -\frac{1}{6} \right )=2\cdot 1\cdot \left ( -\frac{1}{6} \right )=-\frac{1}{3}[/tex]
avendo sviluppato il seno e con riferimento ai due limiti notevoli: [tex]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}[/tex], e [tex]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1[/tex]
grz ad entrambi 
ma mi trovo meglio col metodo di "lordb" ..io uso tanto gli sviluppi..
qui mi sn fatto fregare.. è \(\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+.... \), e non \(\displaystyle \ln x \) e basta! sempre per \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
va bé grz ad entrambi
ma mi trovo meglio col metodo di "lordb" ..io uso tanto gli sviluppi..
qui mi sn fatto fregare.. è \(\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+.... \), e non \(\displaystyle \ln x \) e basta! sempre per \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
va bé grz ad entrambi
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