Limite di funzione di due variabili
$ lim_((x,y) -> (0,0)) \frac{x^3+y^5}{x^2+y^4} = 0 $
Per la verifica dell'esistenza del limite, passo in coordinate polari:
$ f(rho, theta) = \frac{rho^3cos^3theta + rho^5sin^5theta}{rho^2cos^2theta + rho^4sin^4theta} = rho\frac{cos^3theta + rho^2sin^5theta}{cos^2theta + rho^2sin^4theta} $
Non basta dire che $ f(rho, theta) \rightarrow 0 $ per $ rho \rightarrow 0 $, perchè, per $ theta = kpi/2 $, abbiamo una forma di indeterminazione. Posso eliminare il fattore seno al numeratore (per utilizzare il teorema del confronto), ma non risolvo comunque niente. L'unica cosa che mi viene in mente, è che per $ rho \rightarrow 0 $, i termini a potenza maggiore di $ 1 $ possono essere trascurati e rimanere quindi con:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) rho cos theta $, che è pari a 0. Ma non sono sicuro di poterlo fare, perchè i termini $ rho $ non sono direttamente confrontabili con i termini $ theta $, nella fattispecie non saprei, ad esempio, di che ordine è l'infinitesimo $ rho^2sin^2theta $ al numeratore, confrontato con $ theta $ (peraltro i termini coseno si annullano per valori di $ sin theta $ \(\displaystyle \simeq \) $ 1 $ ).
Per la verifica dell'esistenza del limite, passo in coordinate polari:
$ f(rho, theta) = \frac{rho^3cos^3theta + rho^5sin^5theta}{rho^2cos^2theta + rho^4sin^4theta} = rho\frac{cos^3theta + rho^2sin^5theta}{cos^2theta + rho^2sin^4theta} $
Non basta dire che $ f(rho, theta) \rightarrow 0 $ per $ rho \rightarrow 0 $, perchè, per $ theta = kpi/2 $, abbiamo una forma di indeterminazione. Posso eliminare il fattore seno al numeratore (per utilizzare il teorema del confronto), ma non risolvo comunque niente. L'unica cosa che mi viene in mente, è che per $ rho \rightarrow 0 $, i termini a potenza maggiore di $ 1 $ possono essere trascurati e rimanere quindi con:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) rho cos theta $, che è pari a 0. Ma non sono sicuro di poterlo fare, perchè i termini $ rho $ non sono direttamente confrontabili con i termini $ theta $, nella fattispecie non saprei, ad esempio, di che ordine è l'infinitesimo $ rho^2sin^2theta $ al numeratore, confrontato con $ theta $ (peraltro i termini coseno si annullano per valori di $ sin theta $ \(\displaystyle \simeq \) $ 1 $ ).
Risposte
valutiamo a parte il caso in cui $theta=pi/2$ o $theta=3/2pi$
in entrambi i casi vuol dire che stai tendendo all'origine muovendoti sull'asse delle $y$
quindi il limite diventa $ lim_(y -> 0)y=0 $
in entrambi i casi vuol dire che stai tendendo all'origine muovendoti sull'asse delle $y$
quindi il limite diventa $ lim_(y -> 0)y=0 $
Ah, giusto, perchè non stiamo considerando li limite di $ theta $, ma ne stiamo imponendo il valore.
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