Limite di funzione con potenze di x
Volevo un parere sulla risoluzione di questo esercizio 
$\lim_{x \to \+infty}2^(-x)*(2+1/x)^x$
Io ho provato a risolverlo, ma volevo capire se i passaggi che ho fatto sono corretti
Ecco come l'ho risolto
= $(1/2)^x*(2+1/x)^x$ = $(1+1/(2x))^x$ = [so che per $\lim_{x \to \+infty}$ $1/(2x)$ tende a zero] $1^x$ = $1^(+infty)$ =
Posso considerare $1^(+infty)$ come 1 elevato infinite volte e dire che fa 1? Oppure devo considerarlo forma indeterminata e risolverlo in altro modo? ^^'
E poi non sono sicura di poter considerare $\lim_{x \to \+infty}$ $1/(2x)$ tende a zero, perchè all'interno di una potenza!? ^^'
Grazie ^^
$\lim_{x \to \+infty}2^(-x)*(2+1/x)^x$
Io ho provato a risolverlo, ma volevo capire se i passaggi che ho fatto sono corretti
Ecco come l'ho risolto
= $(1/2)^x*(2+1/x)^x$ = $(1+1/(2x))^x$ = [so che per $\lim_{x \to \+infty}$ $1/(2x)$ tende a zero] $1^x$ = $1^(+infty)$ =
Posso considerare $1^(+infty)$ come 1 elevato infinite volte e dire che fa 1? Oppure devo considerarlo forma indeterminata e risolverlo in altro modo? ^^'
E poi non sono sicura di poter considerare $\lim_{x \to \+infty}$ $1/(2x)$ tende a zero, perchè all'interno di una potenza!? ^^'
Grazie ^^
Risposte
[size=150]$lim_(x->+infty) (1+1/(2x))^x=lim_(x->+infty) (1+1/(2x))^((2x)/2)=lim_(x->+infty) [(1+1/(2x))^(2x)]^(1/2)=e^(1/2)=sqrt(e)$[/size]
"axpgn":
[size=150]$lim_(x->+infty) (1+1/(2x))^x=lim_(x->+infty) (1+1/(2x))^((2x)/2)=lim_(x->+infty) [(1+1/(2x))^(2x)]^(1/2)=e^(1/2)=sqrt(e)$[/size]
Grazie per la risposta ^^
Ho provato anche io a usare questo metodo, ma il risultato dovrebbe venire 1, quindi ho pensato fosse sbagliato ^^'
Posso considerare la tua risposta come valida!?
Se la funzione è quella che hai scritto nel primo post, il suo limite è $sqrt(e)$, NON è $1$ ...
Ciao FedeAle1525,
Nei suoi post @axpgn ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Mi accorgo però che hai dei dubbi sulle forme indeterminate, che mi auguro di riuscire a chiarirti con un paio di esempi.
Nel caso del limite che hai proposto NO
Nel caso del limite che hai proposto SI
Esempio 1
$\lim_{x \to +\infty} 1^x = 1$
La base qui è $1$, non c'è alcunché che tende a $0$: il limite vale $1$, non si è in presenza di alcuna forma indeterminata.
Esempio 2
$\lim_{x \to +\infty} (1 + frac{a}{x})^x = ?$
Per $a = 0$ si ricade nel caso del precedente Esempio 1, per cui supponiamo $a \ne 0$. Qui si è in presenza della forma indeterminata $1^\infty$, il termine $frac{a}{x} \to 0$. Riconducendosi con pochi passaggi (quelli che ti ha già mostrato @axpgn) al caso del ben noto limite notevole
$\lim_{x \to \+infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$
(al di là della dimostrazione di questo limite notevole, che puoi trovare praticamente ovunque, prova a dare a $x$ dei valori crescenti naturali, per semplicità, tipo 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 e con la calcolatrice trova il risultato dell'espressione $(1 + frac{1}{x})^x$: osserva attentamente cosa accade all'aumentare del valore di $x$...)
in definitiva si ottiene:
$\lim_{x \to \+infty} (1 + frac{a}{x})^x = e^a$
Ti faccio notare incidentalmente che quest'ultimo risultato, che è stato ricavato nell'ipotesi $a \ne 0$, in realtà è valido anche per $a = 0$, dato che $e^0 = 1$ e nel caso $a = 0$ il limite vale proprio $1$, come già visto nel precedente Esempio 1.
Il limite che hai proposto si ottiene nel caso particolare $a = frac{1}{2}$, da cui il risultato $e^{frac{1}{2}} = sqrt e$.
Nei suoi post @axpgn ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Mi accorgo però che hai dei dubbi sulle forme indeterminate, che mi auguro di riuscire a chiarirti con un paio di esempi.
Posso considerare 1+∞ come 1 elevato infinite volte e dire che fa 1?
Nel caso del limite che hai proposto NO
Oppure devo considerarlo forma indeterminata e risolverlo in altro modo?
Nel caso del limite che hai proposto SI
Esempio 1
$\lim_{x \to +\infty} 1^x = 1$
La base qui è $1$, non c'è alcunché che tende a $0$: il limite vale $1$, non si è in presenza di alcuna forma indeterminata.
Esempio 2
$\lim_{x \to +\infty} (1 + frac{a}{x})^x = ?$
Per $a = 0$ si ricade nel caso del precedente Esempio 1, per cui supponiamo $a \ne 0$. Qui si è in presenza della forma indeterminata $1^\infty$, il termine $frac{a}{x} \to 0$. Riconducendosi con pochi passaggi (quelli che ti ha già mostrato @axpgn) al caso del ben noto limite notevole
$\lim_{x \to \+infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$
(al di là della dimostrazione di questo limite notevole, che puoi trovare praticamente ovunque, prova a dare a $x$ dei valori crescenti naturali, per semplicità, tipo 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 e con la calcolatrice trova il risultato dell'espressione $(1 + frac{1}{x})^x$: osserva attentamente cosa accade all'aumentare del valore di $x$...)
in definitiva si ottiene:
$\lim_{x \to \+infty} (1 + frac{a}{x})^x = e^a$
Ti faccio notare incidentalmente che quest'ultimo risultato, che è stato ricavato nell'ipotesi $a \ne 0$, in realtà è valido anche per $a = 0$, dato che $e^0 = 1$ e nel caso $a = 0$ il limite vale proprio $1$, come già visto nel precedente Esempio 1.
Il limite che hai proposto si ottiene nel caso particolare $a = frac{1}{2}$, da cui il risultato $e^{frac{1}{2}} = sqrt e$.
Aggiungo solo che le stenografie che rappresentano le forme indeterminate (tipo $1^(infty)$, $0*infty$, ecc.) possono trarre in inganno ... quell'uno e quello zero NON sono uno e zero ma "qualcosa" che tende a uno (ma non lo sarà) e "qualcosa" che tende a zero (ma non lo sarà); nel caso in cui fossero "veramente" uno e zero allora la forma indeterminata sparisce (come detto anche da pilloeffe) ...
Giusto @axpgn. A tal proposito propongo le notazioni (che mi sono inventato or ora... ):
$(\to 1)^{\to \infty}$
$(\to 0)(\to \infty)$ o $(\to infty)(\to 0)$
$frac{\to 0}{\to 0}$
$frac{\to \infty}{\to infty}$
$(\to \infty) - (\to infty)$
$(\to 0)^{\to 0}$
$(\to infty)^{\to 0}$
Magari un po' più pesanti, ma più aderenti alla realtà...
):$(\to 1)^{\to \infty}$
$(\to 0)(\to \infty)$ o $(\to infty)(\to 0)$
$frac{\to 0}{\to 0}$
$frac{\to \infty}{\to infty}$
$(\to \infty) - (\to infty)$
$(\to 0)^{\to 0}$
$(\to infty)^{\to 0}$
Magari un po' più pesanti, ma più aderenti alla realtà...
Grazie ad entrambi per le vostre risposte ^^
Siete stati molto gentili e esplicativi La matematica sembra anche più facile :p
Visto che il risultato è $sqrt(e)$ terrò come valido il tuo procedimento axpgn
In particolare ti ringrazio per la spiegazione sulle forme indeterminate, io sono una di quelle che allora ha sempre equivocato XD
Ringrazio anche te pilloeffe per lo schema sulle forme indeterminate, spiega perfettamente quello che aveva detto axpgn
Sarà una preziosa guida per me d'ora in poi
Grazie anche per la spiegazione su $1^(+infty)$ su cui avevo dei dubbi
Siete stati molto gentili e esplicativi
La matematica sembra anche più facile :pVisto che il risultato è $sqrt(e)$ terrò come valido il tuo procedimento axpgn
In particolare ti ringrazio per la spiegazione sulle forme indeterminate, io sono una di quelle che allora ha sempre equivocato XD
Ringrazio anche te pilloeffe per lo schema sulle forme indeterminate, spiega perfettamente quello che aveva detto axpgn
Sarà una preziosa guida per me d'ora in poi
Grazie anche per la spiegazione su $1^(+infty)$ su cui avevo dei dubbi
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