Limite di funzione con parametro

[FM931]

Buongiorno
mi servirebbe sapere se svolgimento e risultato di questo limite sono corretti:

$ \lim_{x\to0^+}\frac{(3^{x+1}-3)x^{3k}}{(2^x-\sqrt{x+1})sin\sqrt{x^7}} $

Svolgimento

Per $ k>= 0 ,k<0 $ il limite si presenta sotto forma indeterminata.

Si ha:

$ \lim_{x\to0^+}\frac{(3^{x+1}-3)x^{3k}}{(2^x-\sqrt{x+1})sin\sqrt{x^7}} =\lim_{x\to0^+}\frac{3x\frac{(3^{x}-1)}{x}x^{3k}}{-(\sqrt{x+1}-1+1-2^x)\frac{sin\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^7}}\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{3x*ln3*x^{3k}}{-x(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}-\frac{2^x-1}{x})\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{3x*ln3*x^{3k}}{-x(\frac{\1}{2}-ln2)\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{ln(27)}{ln(\frac{2}{\sqrt{e}})}*x^{3k-\frac{7}{2}}$

In definitiva abbiamo :

$ 0 $ se $ k>\frac{7}{6} $

$ +\propto $ se $ k<\frac{7}{6} $

$ \frac{ln27}{ln\frac{2}{\sqrt{e}} $ se $ k=\frac{7}{6} $

Corretto?

[@melia]

Non sei andato a capo nel calcolo del limite, non è possibile leggere gli ultimi passaggi. Dovresti andare a capo.

[francicko]

×@FM93.
Si,secondo me è ' giusto!
Hai usato i limiti notevoli, io ho usato gli asintotici ,comunque e' la medesima cosa;
Con gli asintotici si ha: $(3^(x+1)-3)=3(3^x-1)~x3log3$ a numeratore, ed a denominatore, $sin(sqrt (x^7))~sqrt (x^7)=x^3sqrt(x) $, ed $(2^x-1-x/2)~(1+xlog2-1-x/2)=x(log2-1/2) $
sostituendo in definitiva si ha: $lim_(x->0^+)(3log3)(x^(3k))/((log2-1/2)×x^3sqrt (x))=((3log3)/(log2-1/2))×lim_(x->0^+)x^(3k)/(x^3sqrt(x))$, e concludendo per il parametro $k $ valgono le considerazioni che hai fatto tu.

[FM931]

Grazie a tutti per le risposte