Limite di funzione calcolato in vari modi

[gcappellotto47]

Buongiorno

propongo questo limite:
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x+x^5}{x^3}$

soluzione con i limiti notevoli
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x+x^5}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{x(\frac{\sin x}{x}-1)+x^5}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{x\cdot (1-1)+x^5}{x^3}=0$

soluzione con De L'Hopital
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x+x^5}{x^3}= [\frac{0}{0}] $
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x+x^5}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x-1+5x^4}{3x^2} =[\frac{0}{0}] $
$\lim_{x \to 0}\frac{\cos x-1+5x^4}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{-\sin x+20x^3}{6x}=[\frac{0}{0}] $
$\lim_{x \to 0}\frac{-\sin x+20x^3}{6x}=\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x+60x^2}{6}=-\frac{1}{6}$

La soluzione con i limiti notevoli contiene un errore, quale? Come si dovrebbe procedere per applicare correttamente i limiti notevoli?

Grazie e saluti
Giovanni C.

[kobeilprofeta]

Beh chiaro. Hai sostituito $frac {sin x}{x} $ con 1.

[pilloeffe]

Ciao gcappellotto47,

"gcappellotto47":Come si dovrebbe procedere per applicare correttamente i limiti notevoli?

Non è semplicissimo, ma ci si riesce.
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x+x^5}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x}{x^3} + \lim_{x \to 0} x^2$
Il secondo limite vale $0$, il limite per $x \to 0$ della funzione $1/f(x)$, avendo posto $f(x) := frac{sin x - x}{x^3}$, è già stato calcolato qui e vale $k = - 6$ per cui si trova $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-x}{x^3} = frac{1}{k} = - frac{1}{6} $

[Magma1]

Ciao Giovanni,

Hai usato impropriamente il limite notevole $sin(x)/x=1$: infatti esso deriva dalla formula di MacLaurin al primo ordine

$sin(x)=x+o[x]$

Il problema in questione è la presenza del $-x$ che ti fa perdere informazioni sull'andamento del seno in un intorno di zero; pertanto occorre aumentare l'ordine della formula:

$sin(x)=x-1/6x^3+o[x^3]$

In definitiva si ottiene:

$ lim_(x-> 0) (sin x-x+x^5)/(x^3)=$

$= lim_(x-> 0) (x-1/6x^3+o[x^3]-x+x^5)/(x^3)=$

$lim_(x-> 0) (-1/6x^3+o[x^3]+x^5)/(x^3) =$

$lim_(x-> 0) (-1/6+o[1]+x^2) =-1/6$