Limite di funzione a due variabili

[kotek]

Ciao,
qualcuno mi potrebbe aiutare, o dare qualche suggerimento, nel dimostrare questo limite:

$ lim_((x, y) -> (0, 0)) (sen(xy))/sqrt(x^2+y^2) =0$

Grazie in anticipo

[kotek]

In questo momento mi è venuta un idea:

scrivo in coordinate polari:

$ lim_((rho, θ) -> (0, 0)) (sen(rho^2cos(θ) senθ))/sqrt(rho^2)$

pongo $rho^2cos(θ) senθ=y$

$ lim_((y, θ) -> (0, 0)) (seny)/sqrt(y)sqrt(sen(θ)cos(θ))$

$ lim_((y, θ) -> (0, 0)) (seny)/y sqrt(sen(θ)cos(θ))sqrt(y)=0$

perchè:

$lim_((y, θ) -> (0, 0)) (seny)/y =1$

Va bene o è sbagliato?

[Seneca1]

Ma perché non $0 <= |sin(xy) |/sqrt(x^2 + y^2) <= 1/sqrt(x^2 + y^2)$ ?

[kotek]

ma poi quando $(x, y) -> (0, 0)$ non va a più infinito?

[Seneca1]

Giustamente.

Sono un po' stanco, scusami.

[Paolo902]

Be', ma l'idea di Seneca è buona. Solo bisogna correggere leggermente la stima che così è troppo blanda...

Ad esempio, basta osservare $|sin(xy)| le |xy|$ per ogni $x,y in \RR$...

[kotek]

Buona idea grazie