Limite di funzione a due variabili
Svolgendo un esercizio, mi sono ritrovato a dover risolvere questo limite:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
Ho ragionato così: $\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ è uguale a $\frac{\log(y^3+1)}{y^3}*\frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Ora $\frac{\log(y^3+1)}{y^3}$ tende a 1, mentre possiamo riscrivere il secondo fattore come $\frac{y^3}{|y|*sqrt{\frac{x^2}{y^2}+1}}$. Osservando che $\frac{y^3}{|y|}$ non ammette limite, concludiamo che il limite di partenza non esiste.
La mia risoluzione è corretta?
EDIT: errore nei conti.
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
Ho ragionato così: $\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ è uguale a $\frac{\log(y^3+1)}{y^3}*\frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Ora $\frac{\log(y^3+1)}{y^3}$ tende a 1, mentre possiamo riscrivere il secondo fattore come $\frac{y^3}{|y|*sqrt{\frac{x^2}{y^2}+1}}$. Osservando che $\frac{y^3}{|y|}$ non ammette limite, concludiamo che il limite di partenza non esiste.
La mia risoluzione è corretta?
EDIT: errore nei conti.
Risposte
Se passi in coordinate polari il limite non fa zero? 
Edit: opssss cavolata scusate la distrazione..non dovrebbe fare zero Very Happy
Edit: opssss cavolata scusate la distrazione..non dovrebbe fare zero Very Happy
Premetto che devo ancora dare analisi 2. Si possono riclare i ragionamenti fatti con i limiti delle funzioni di una variabile e cioè confrontare gli ordini di infinitesimo?
Anch'io devo fare Analisi 2 
Comunque, per i limiti di funzioni in due variabili, puoi usare i limiti notevoli che hai visto a Analisi 1.
Per favore, non chiedetemi di usare coordinate polari: non le abbiamo ancora studiate.
Comunque, per i limiti di funzioni in due variabili, puoi usare i limiti notevoli che hai visto a Analisi 1.
Per favore, non chiedetemi di usare coordinate polari: non le abbiamo ancora studiate.
Volgarmente detto, ci sono infiniti modi per tendere a zero secondo (x,y) quindi per essere sicuro che il limite sia $l$ dovresti provarlo per tutti gli infiniti modi di tendere a (0,0), il che non è possibile senza le coordinate polari.
Senza coordinate polari puoi al massimo provare che il limite non esiste(provando per esempio che il limite tende a 2 limiti diversi secondo due diverse direzioni).
Con le coordinate polari invece, puoi provare che una certa funzione incognita è minorata da una infinitesima per ogni $theta$.
Senza coordinate polari puoi al massimo provare che il limite non esiste(provando per esempio che il limite tende a 2 limiti diversi secondo due diverse direzioni).
Con le coordinate polari invece, puoi provare che una certa funzione incognita è minorata da una infinitesima per ogni $theta$.
Dunque, vediamo un po'..
$\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{\sqrt{0^2+y^2}} = \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{|y|} \rightarrow 1 \cdot 0 = 0$
poiché
$\frac{y^3}{|y|} = \frac{y^2 \cdot y}{|y|} = \frac{|y|^2 \cdot y}{|y|} = |y| \cdot y \rightarrow 0$ se $y \rightarrow 0$.
Francesco Daddi
$\frac{\log(y^3+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{\sqrt{0^2+y^2}} = \frac{\log(y^3+1)}{y^3} \cdot \frac{y^3}{|y|} \rightarrow 1 \cdot 0 = 0$
poiché
$\frac{y^3}{|y|} = \frac{y^2 \cdot y}{|y|} = \frac{|y|^2 \cdot y}{|y|} = |y| \cdot y \rightarrow 0$ se $y \rightarrow 0$.
Francesco Daddi
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