Limite di funzione a due variabili

[luigi.saggiomo]

Salve, sto trovando un po' di difficoltà con i limiti a due variabili. Ho svolto questo esercizio, ma non so fino a che punto è corretto. Ve lo mostro e vi ringrazio ancora una volta per la disponibilità.

Verificare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) (3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)=2 $

Procedo per restrizioni su rette: $ y=m(x-x_0)+y_0 $ e quindi $ y=mx $

$ f(x,mx)=(3x^3+2x^2+2m^2x^2)/(x^2+m^2x^2) = (3x+2+2m^2)/ (1+m^2) $ che passando al limite $ lim_(x -> 0) (3x+2+2m^2)/(1+m^2)=2 $

Provo a cambiare "percorso", e ne scelgo uno non lineare, ad esempio la parabola di equazione $ y=mx^2 $

$ f(x,mx^2)= (3x^3+2x^2+2m^2x^4)/(x^2+m^2x^4)= [3x+2(1+m^2x^2)]/(1+m^2x^2) = (3x)/(1+m^2x^2)+2 $

Passando anche qui al limite ottengo $ lim_(x -> 0) (3x)/(1+m^2x^2) + 2 =2 $

Questo mi basta per dedurre che il limite di partenza è uguale a 2 ??

[luigi.saggiomo]

Ho dato un'occhiata ad una spiegazione sempre qui sul forum e penso di averci capito qualcosa. Provo a spiegare.

$ |(3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)-2|=|(3x^3+2x^2+2y-2x^2-2y^2)/(x^2+y^2)|= |(3x^3)/(x^2+y^2)| $

Da qui posso fare delle maggiorazioni: $ |x^3|=|x|x^2<=|x| (x^2+y^2) $.

Da qui sostituendo $ |(3x^3)/(x^2+y^2)|=(3|x|x^2)/(x^2+y^2)<=(3|x|(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=3|x| $

Anche qua possiamo fare delle considerazioni: $ |x|=sqrt((x^2)) <= sqrt((x^2+y^2))$

Adesso ricordo la definizione di limite e cioè che $ vvepsilon>0 EEdelta>0 $ che io scelgo come $ delta=epsilon/3 $ e andando a sostituire quindi:

$ 3sqrt(x^2+y^2)

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[luigi.saggiomo]

"arnett":[quote="UniAnalisi"]Ho dato un'occhiata ad una spiegazione sempre qui sul forum e penso di averci capito qualcosa. Provo a spiegare.

$ |(3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)-2|=|(3x^3+2x^2+2y-2x^2-2y^2)/(x^2+y^2)|= |(3x^3)/(x^2+y^2)| $

Da qui posso fare delle maggiorazioni: $ |x^3|=|x|x^2<=|x| (x^2+y^2) $.

Da qui sostituendo $ |(3x^3)/(x^2+y^2)|=(3|x|x^2)/(x^2+y^2)<=(3|x|(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=3|x| $

per me puoi fermarti a questo passaggio e dire che se $(x, y)\to(0, 0)$, $|x|\to0$ e si conclude subito.[/quote]

Si giustissimo, mi trovo. Grazie mille per l'aiuto