Limite di funzione a due variabili

[Obidream]

Salve a tutti, ho dei problemi col seguente limite:

$lim_(x,y)->(0,0) (xy)*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$

Se passo alle coordinate polari ottengo:

$f(\rho,\theta) = \rho^2sin(\theta)cos(\theta)*(\rho^2*(cos^2(\theta)-sin^2(\theta)))/(\rho^2*(cos^2(\theta)+sin^2(\theta))$

$f(\rho,\theta) = \rho^2sin(\theta)cos(\theta)*(cos^2(\theta)-sin^2(\theta))$

A questo punto se mi ricordassi la trigonometria potrei dire:

$f(\rho,\theta) = 1/4\rho^2*sin(4\theta)$ e poi concludere col teorema del confronto poiché:

$-1/4\rho^2 <= f(\rho,\theta) <= 1/4\rho^2$

Mi chiedevo tuttavia se esistono strade alternative per calcolare questo limite perché temo che al compito osservazioni come quella di sopra potrebbero sfuggirmi...
Grazie in anticipo.

[asker993]

Ciao, io qua procederei nel seguente modo:

$ f(\rho,\theta) = |\rho^2sin(\theta)cos(\theta)*(cos^2(\theta)-sin^2(\theta))|<=|rho^2(cos^(2)theta- sen^2(theta))| $ sapendo che anche $cos^(2)-theta sen^2(theta)<=1$ per ogni $theta$ puoi concludere così: $|rho^2(cos^(2)theta- sen^2(theta))|<=p^2$ e per il teorema del confronto hai dimostrato che il limite va a $0$...aspetta però, che qualcuno di più esperto può dir la sua

[Raptorista1]

Come dice asker,
\[
0 \le |f| = |\rho^2 \frac{\sin(2\theta)}{2} \cos(2\theta)| \le \rho^2 \to 0
\]

[Obidream]

Grazie mille, in effetti è più semplice in questo modo secondo me, piuttosto che ricordarsi alcune formule che non capita di usare spesso