Limite di funzione a 2 variabili
Ciao a tutti!
Sono alle prese con i limiti di funzioni a più variabili, e chiedo il vostro aiuto perchè temo mi sfugga qualcosa...
Iniziamo con un esercizio di esempio semplice:
Utilizzando la definizione di limite, verificare che $lim_( x,y->(0,0) ) frac{x^4-y^4}{x^2+y^2} = 0$
La definizione di limite risulta essere: Data $f: A \to RR$ si dice che $f(x,y)$ tende ad $l$ per $(x,y)$ che tende a $(x_0, y_0)$ se, qualunque sia $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che risulta
$|f(x,y)-l|<\epsilon$
per ogni $(x,y) in A, (x,y)!=(x_0,y_0)$ e $|(x,y)$ $-(x_0,y_0) |<\delta$, cioè $sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)<\delta$
Nel nostro caso, essendo $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= frac{x^4}{x^2+y^2} + frac{y^4}{x^2+y^2} <= frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} + frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} <= x^2+y^2$
Possiamo dire che per ogni $\epsilon>0$ posto $\delta=sqrt(epsilon)$ si ha:
$sqrt(x^2+y^2)< \delta \rArr |frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <\epsilon$
Nella prima parte della risoluzione mi è tutto abbastanza chiaro: mi pare che quello che si cerchi di fare e di ottenere qualcosa che assomigli al nostro $sqrt(x^2+y^2)$, trovato nella definizione di limite sostituendo $(0,0)$ a $(x_0,y_0)$.
Quello che non mi è molto chiaro è perchè poi si pone $\delta=sqrt(epsilon)$.
L'aver trovato che $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= x^2+y^2$ significa che possiamo considerare $x^2+y^2$ come il nostro $\epsilon$?
Quindi dobbiamo mettere questo in relazione con il fatto che deve risultare $sqrt(x^2+y^2)<\delta$?
Qualcuno mi sa spiegare un po' questo passaggio?
Grazie mille
Sono alle prese con i limiti di funzioni a più variabili, e chiedo il vostro aiuto perchè temo mi sfugga qualcosa...
Iniziamo con un esercizio di esempio semplice:
Utilizzando la definizione di limite, verificare che $lim_( x,y->(0,0) ) frac{x^4-y^4}{x^2+y^2} = 0$
La definizione di limite risulta essere: Data $f: A \to RR$ si dice che $f(x,y)$ tende ad $l$ per $(x,y)$ che tende a $(x_0, y_0)$ se, qualunque sia $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che risulta
$|f(x,y)-l|<\epsilon$
per ogni $(x,y) in A, (x,y)!=(x_0,y_0)$ e $|(x,y)$ $-(x_0,y_0) |<\delta$, cioè $sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)<\delta$
Nel nostro caso, essendo $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= frac{x^4}{x^2+y^2} + frac{y^4}{x^2+y^2} <= frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} + frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} <= x^2+y^2$
Possiamo dire che per ogni $\epsilon>0$ posto $\delta=sqrt(epsilon)$ si ha:
$sqrt(x^2+y^2)< \delta \rArr |frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <\epsilon$
Nella prima parte della risoluzione mi è tutto abbastanza chiaro: mi pare che quello che si cerchi di fare e di ottenere qualcosa che assomigli al nostro $sqrt(x^2+y^2)$, trovato nella definizione di limite sostituendo $(0,0)$ a $(x_0,y_0)$.
Quello che non mi è molto chiaro è perchè poi si pone $\delta=sqrt(epsilon)$.
L'aver trovato che $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= x^2+y^2$ significa che possiamo considerare $x^2+y^2$ come il nostro $\epsilon$?
Quindi dobbiamo mettere questo in relazione con il fatto che deve risultare $sqrt(x^2+y^2)<\delta$?
Qualcuno mi sa spiegare un po' questo passaggio?
Grazie mille
Risposte
"manuxy84":
Ciao a tutti!
Sono alle prese con i limiti di funzioni a più variabili, e chiedo il vostro aiuto perchè temo mi sfugga qualcosa...
Iniziamo con un esercizio di esempio semplice:
Utilizzando la definizione di limite, verificare che $lim_( x,y->(0,0) ) frac{x^4-y^4}{x^2+y^2} = 0$
La definizione di limite risulta essere: Data $f: A \to RR$ si dice che $f(x,y)$ tende ad $l$ per $(x,y)$ che tende a $(x_0, y_0)$ se, qualunque sia $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che risulta
$|f(x,y)-l|<\epsilon$
per ogni $(x,y) in A, (x,y)!=(x_0,y_0)$ e $|(x,y)$ $-(x_0,y_0) |<\delta$, cioè $sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)<\delta$
Nel nostro caso, essendo $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= frac{x^4}{x^2+y^2} + frac{y^4}{x^2+y^2} <= frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} + frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2} <= x^2+y^2$
Possiamo dire che per ogni $\epsilon>0$ posto $\delta=sqrt(epsilon)$ si ha:
$sqrt(x^2+y^2)< \delta \rArr |frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <\epsilon$
Ok, risposta esatta.
"manuxy84":
Nella prima parte della risoluzione mi è tutto abbastanza chiaro: mi pare che quello che si cerchi di fare è di ottenere qualcosa che assomigli al nostro $sqrt(x^2+y^2)$, trovato nella definizione di limite sostituendo $(0,0)$ a $(x_0,y_0)$.
Quello che non mi è molto chiaro è perchè poi si pone $\delta=sqrt(epsilon)$.
L'aver trovato che $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}| <= x^2+y^2$ significa che possiamo considerare $x^2+y^2$ come il nostro $\epsilon$?
Quindi dobbiamo mettere questo in relazione con il fatto che deve risultare $sqrt(x^2+y^2)<\delta$?
Qualcuno mi sa spiegare un po' questo passaggio?
Grazie mille
Non è proprio così... Il piano non è tanto "ottenere qualcosa che assomigli al nostro $sqrt(x^2+y^2)$, trovato nella definizione di limite sostituendo $(0,0)$ a $(x_0,y_0)$", bensì è "maggiorare $|frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}|$ con una funzione di $x,y$ che è infinitesima per $(x,y)to(0,0)$": il fatto che la funzione maggiorante il valore assoluto risulti simile alla distanza di $(x,y)$ da $(0,0)$ è abbastanza casuale (e fortunato!).
Per quanto riguarda la determinazione del $delta$, basta ragionare così: visto che $AA (x,y) in RR^2-{(0,0)}, |frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}|le x^2+y^2$, per rendere minore di $epsilon$ il valore assoluto ti basta rendere minore di $epsilon$ la funzione $x^2+y^2$; ancora, dato che $x^2+y^2=[sqrt(x^2+y^2)]^2$, affinchè $x^2+y^2
$[sqrt(x^2+y^2)]^2
confrontando l'ultima disuguaglianza delle precedenti con quella della definizione di limite, ossia $sqrt(x^2+y^2)
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Buono studio.
___________
* In realtà potresti fare una scelta altrettanto buona fissando $delta$ positivo e $le sqrt epsilon$ (ad esempio $delta=1/3sqrt epsilon$), ma queste considerazioni non servono a granchè ai fini dell'esercizio.
Ok, ti ringrazio per la spiegazione, ora sembra tutto più chiaro.
Ultima domanda: negli altri esercizi che ho di esempio svolti, cerca comunque di maggiorare $| f(x,y) - l|$ con qualcosa che assomigli a $|(x,y)$ $-(x_0,y_0)|$. E' dunque solo una questione di "comodità" per essere più facilitati a trovare il $delta$ ? Oppure esiste un altro modo di procedere per fare questo tipo di veirifca?
Grazie ancora
Ciao
Ultima domanda: negli altri esercizi che ho di esempio svolti, cerca comunque di maggiorare $| f(x,y) - l|$ con qualcosa che assomigli a $|(x,y)$ $-(x_0,y_0)|$. E' dunque solo una questione di "comodità" per essere più facilitati a trovare il $delta$ ? Oppure esiste un altro modo di procedere per fare questo tipo di veirifca?
Grazie ancora
Ciao
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