Limite di funzione

[Sk_Anonymous]

Salve, stavo calcolando questo limite: $lim_(x,y)->(0,0) y^4/(x^2+y^4)$. Allora, restringendo la funzione al fascio di rette per l'origine, ottengo la funzione $(m^4*t^2)/(l^2+m^4*t^2)$, che, per $t$ che tende a zero, tende a zero. Dunque, deduco che, se il limite esiste, esso deve essere zero. Poi, la soluzione fornita dal libro dice che restringendo la funzione originaria alla retta $x=0$, ottengo la funzione costante uno il cui limite è ovviamente zero. Dunque, esistendo due limiti differenti, il limite non esiste. Io mi chiedo: se non avessi visto le soluzioni, come sarei potuto arrivare a capire che dovevo restringere la funzione alla retta $x=0$ per accorgermi che non esiste?

[miuemia]

quando hai rapporto di polinomi devi avere "occhio" a fare questi tipi di conti.
la cosa però che non mi torna ,ma evidentemente sono ignorante in materia, se passo a coordinate polari cioè
$x=r~cos\theta$ e $y=r ~sin\theta$
ottengo

$(r^4 sin^4\theta)/(r^2cos^2\theta+r^4sin^4\theta)$

che tende a zero quando r tende a zero.

[Mrhaha]

Il metodo delle rette non sempre è efficace,infatti se vale non puoi dire subito che il limite esiste! Attenzione!
Il trucco sai qual è? Ogni volta vedi sempre sugli assi che succede e sulla bisettrice!
@menale docet!

[poncelet]

"miuemia":quando hai rapporto di polinomi devi avere "occhio" a fare questi tipi di conti.
la cosa però che non mi torna ,ma evidentemente sono ignorante in materia, se passo a coordinate polari cioè
$x=r~cos\theta$ e $y=r ~sin\theta$
ottengo

$(r^4 sin^4\theta)/(r^2cos^2\theta+r^4sin^4\theta)$

che tende a zero quando r tende a zero.

La funzione

$(r^4 sin^4\theta)/(r^2cos^2\theta+r^4sin^4\theta)$


non è detto che tenda a zero per $r \to 0$, perché potrebbe esserci una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ se $\theta=2k\pi$, quindi il limite dipende da $\theta$ e di conseguenza non lo puoi risolvere passando in coordinate polari.

[theras]

"lisdap":
Salve, stavo calcolando questo limite: $lim_(x,y)->(0,0) y^4/(x^2+y^4)$.
Allora, restringendo la funzione al fascio di rette per l'origine, ottengo la funzione $(m^4*t^2)/(l^2+m^4*t^2)$, che,
per $t$ che tende a zero, tende a zero.
Dunque, deduco che, se il limite esiste, esso deve essere zero.
Poi, la soluzione fornita dal libro dice che restringendo la funzione originaria alla retta $x=0$,
ottengo la funzione costante uno il cui limite è ovviamente uno.
Dunque, esistendo due limiti differenti, il limite non esiste. Io mi chiedo:
se non avessi visto le soluzioni,
come sarei potuto arrivare a capire che dovevo restringere la funzione alla retta $x=0$ per accorgermi che non esiste?

Ciao!
Innanzitutto direi che quello delle restrizione a fasci di rette è un buon metodo "distruttivo" sull'esistenza d'un tal limite,
ma spesso è solo un primo passo ed un eventuale suggerimento:
talora è più utile restringere a famiglie di curve piane più "fantasiose"
(quelle espresse in coordinate polari sono da tenere in considerazione come ottime seconde,
come d'altronde hanno evidenziato gli altri utenti del forum),
suggerite dalla legge di definizione della funzione che si stà passando al limite,
oltre che dai conti che portano al calcolo del limite di funzione reale d'una variabile reale cui dopo la restrizione ci si riconduce..
Poi naturalmente và considerata al contempo anche l'ipotesi che il limite esista,
come d'altronde hai fatto tu dopo la restrizione al fascio di rette;
solo che quando realizzi quest'ultima operazione non và tolta alcuna retta dal fascio,
e dunque è il caso di ricordare come si perda la parallela per $(x_0,y_0)$ a $vecy$
quando s'usa la forma espicita con l'unico parametro del coefficente angolare:
è stato un buon errore per il futuro,
e credo proprio che non lo ripeterai..
Saluti dal web.

[Giuly191]

"Mrhaha":Il metodo delle rette non sempre è efficace,infatti se vale non puoi dire subito che il limite esiste! Attenzione!
Il trucco sai qual è? Ogni volta vedi sempre sugli assi che succede e sulla bisettrice!
@menale docet!

Abbiamo un esempio di esercizio in cui non basta nella discussione di prima.. non c'è un trucco, bisogna solo impratichirsi e capire a seconda della funzione, quale potrebbe essere la curva su cui la funzione non tende a $0$ se ristretta ad essa.
Un modo carino potrebbe essere quello di considerare le restrizioni $f(x,x^a)$ (oppure $f(y^a,y)$) e di studiare questo limite al variare di $a$, così da capire quale potrebbe essere la curva. Ti faccio l'esempio con questo esercizio: $f(y^a,y) = y^4 / (y^(2a) + y^4 ) = g(y) $.
Si vede subito che $lim_(y->0) g(y) $ è diverso da $0$ se $a>=2$ (il denominatore è $ sim y^(2a) $ se $ a < 2 $, mentre è $sim y^4$ se $a> 2 $, se $a=2$ invece abbiamo che $g(y) = 1/2$ ). In questo modo, studiando di fatto un semplice limite in una variabile al variare di un parametro, abbiamo trovato più curve utili a provare la non esistenza del limite della funzione di partenza. Ci basta infatti considerare $f$ ristretta alla curva di sostegno $x=y^2$ oppure a tutte le curve di sostegno $x=y^b$ con $b>2$ .
Ovviamente accorgersi che la restrizione all'asse delle ordinate lo prova immediatamente sarebbe meglio, per questo controllare prima restrizioni agli assi cartesiani e ad entrambe le bisettrici può essere una buona idea.

[Mrhaha]

Ovvio che non basta giuly! Ma neanche il metodo delle rette se funziona non è detto che il limite esiste!