Limite di funzione

[talitadiodati90]

devo svolgere questo limite:
$lim x->+oo (1+sen(2/x))^x$ che so tendere a $e^2$.
dico bene se dico che tende a $e^2$ perchè il $sen (2/x)$ è asintotico a $2/x$?
che differenza c'è riguardo gli asintotici equivalenti per x che tende a $0$ per x che tende a $+oo$?

[Richard_Dedekind]

Dici bene, direi.
Formalmente, si ha che
\[\left [ 1+\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right]^x\sim \left(1+\frac{2}{x}\right)^x\to e^2 \]
quando \(x\to \infty\).
Per la tua seconda domanda, gli asintotici che si utilizzano di solito derivano dagli sviluppi di Taylor centrati in \8 x=0\). Dunque le varie relazioni sono valide quando l'argomento della funzione da sviluppare è infinitesimo.

[dissonance]

Si, però andrebbe giustificato un pochino meglio questo fatto. In sostanza si sta usando questo limite notevole:

\[\left(1+\frac{1}{x}+ o \left(\frac{1}{x}\right) \right)^x \to e ,\qquad x \to +\infty.\]

Questo è vero ma la dimostrazione non è secondo me proprio ovvia, R.Dedekind. Il tuo ragionamento mi sembra incompleto. Tu parti dal presupposto che la seguente sia vera:

se, per \(x \to +\infty\), si ha che \(\varphi(x) \sim \psi(x)\), allora si ha anche \(\varphi(x)^x \sim \psi(x)^x\).

Ma purtroppo ciò è falso. Ad esempio \(\varphi(x) = x+1, \psi(x)=x \) sono tali che

\[\lim_{x \to +\infty}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = 1 \]

e però

\[\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}\right)^x= e \ne 1.\]