Limite di funzione :)
ciao ragazzi ho questa funzione da studiare $f(x)=sqrt(x^3)/sqrt(x+1)$. Dominio, positività intersezioni, asisntoti verticali nessun problema! per il calcolo dell'asintoto obliquo ottengo che $ lim_(x -> +oo) f(x) = +oo$ . calcolo quindi l'asintoto obliquo: prima m: $ lim_(x -> +oo) f(x)/x =1 $ ; $lim_(x -> -oo) f(x)/x =1$
e poi q: $lim_(x -> +oo) f(x)-mx= ?$ qualche suggerimento per il calcolo di questo limite? razionalizzando, derivando e derivando ancora (ovviamente con la regola di de hopital) non concludo nulla xD qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo ragazzi!
e poi q: $lim_(x -> +oo) f(x)-mx= ?$ qualche suggerimento per il calcolo di questo limite? razionalizzando, derivando e derivando ancora (ovviamente con la regola di de hopital) non concludo nulla xD qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo ragazzi!
Risposte
Fai attenzione perchè quando fai:
$lim_(x->oo)sqrt(x^3)/(xsqrt(x+1))=(|x|sqrt(x))/(xsqrt(x+1)) ~ (|x|sqrt(x))/(xsqrt(x)) ~ |x|/x$, allora si presentano due casi:
$ { ( lim_(x->+oo)|x|/x= x/x =1 ),( lim_(x->-oo)|x|/x=-x/x=-1 ):} $
quindi:
$ { ( x->+oo , m=1 ),( x->-oo , m=-1 ):} $
Comunque per proseguire nel calcolo della q, ovviamente devi distinguere i due casi, a seconda della m. La prima cosa da fare quando si presenterà il caso:
$lim_(x->oo)f(x)-mx$
è fare un minimo comune multiplo, mettere qualcosina in evidenza e razionalizzare.
$lim_(x->oo)sqrt(x^3)/(xsqrt(x+1))=(|x|sqrt(x))/(xsqrt(x+1)) ~ (|x|sqrt(x))/(xsqrt(x)) ~ |x|/x$, allora si presentano due casi:
$ { ( lim_(x->+oo)|x|/x= x/x =1 ),( lim_(x->-oo)|x|/x=-x/x=-1 ):} $
quindi:
$ { ( x->+oo , m=1 ),( x->-oo , m=-1 ):} $
Comunque per proseguire nel calcolo della q, ovviamente devi distinguere i due casi, a seconda della m. La prima cosa da fare quando si presenterà il caso:
$lim_(x->oo)f(x)-mx$
è fare un minimo comune multiplo, mettere qualcosina in evidenza e razionalizzare.
"Lorin":
Fai attenzione perchè quando fai:
$lim_(x->oo)sqrt(x^3)/(xsqrt(x+1))=(|x|sqrt(x))/(xsqrt(x+1)) ~ (|x|sqrt(x))/(xsqrt(x)) ~ |x|/x$, allora si presentano due casi:
$ { ( lim_(x->+oo)|x|/x= x/x =1 ),( lim_(x->-oo)|x|/x=-x/x=-1 ):} $
quindi:
$ { ( x->+oo , m=1 ),( x->-oo , m=-1 ):} $
Comunque per proseguire nel calcolo della q, ovviamente devi distinguere i due casi, a seconda della m. La prima cosa da fare quando si presenterà il caso:
$lim_(x->oo)f(x)-mx$
è fare un minimo comune multiplo, mettere qualcosina in evidenza e razionalizzare.
non lo metto in dubbio, sono le prime cose che ho fatto, ma mi ritrovo sempre davanti a forme inderterminate del tipo $oo/oo$
Ma più che altro il limite per $x->-oo$ non ha senso perché la funzione è definita solo per $x>=0$. 
Già!
si ho capito, ma non il problema sta nella q! ._.
E che problema hai nel calcolo di $q$? Non capisco:
[tex]$q=\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-mx\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}
\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{x-x-1}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to+\infty} \frac{-x}{\sqrt{x}\cdot2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}$[/tex]
(nel penultimo passaggio ho usato il confronto asintotico [tex]$\sqrt{x+a}\sim\sqrt{x}$[/tex] quando [tex]$x\to+\infty$[/tex]).
[tex]$q=\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-mx\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}
\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{x-x-1}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to+\infty} \frac{-x}{\sqrt{x}\cdot2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}$[/tex]
(nel penultimo passaggio ho usato il confronto asintotico [tex]$\sqrt{x+a}\sim\sqrt{x}$[/tex] quando [tex]$x\to+\infty$[/tex]).
"ciampax":
E che problema hai nel calcolo di $q$? Non capisco:
[tex]$q=\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-mx\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}
\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{x-x-1}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to+\infty} \frac{-x}{\sqrt{x}\cdot2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}$[/tex]
(nel penultimo passaggio ho usato il confronto asintotico [tex]$\sqrt{x+a}\sim\sqrt{x}$[/tex] quando [tex]$x\to+\infty$[/tex]).
arrivavo allo stesso punto anche io.. solo che non sapevo come continuare, tu hai usato il confronto
potresti spiegarmi questi confronti asintotici? si $sinx ~ x , tgx ~ x , arctgx ~ x $ tutti per $x -> 0$ ma credo che questi siano quelli più semplici, e che uso per la risoluzione dei limiti. ma quello che hai usato tu o comunque altri quando posso applicarli? non so se cosi vado off topic, nel caso chiedo scusa
I confronti asintotici vengono fuori da condizioni del tipo:
[tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\ \Rightarrow\ f(x)\sin g(x)$[/tex]
dove $x_0$ può essere un qualsiasi numero reale oppure $\pm\infty$. In generale una buona parte di limiti possono essere risolti con confronti asintotici, mentre ciò non è più possibile quando i termini nei confronti asintotici si cancellano: ad esempio se calcoli con i confronti asintotici
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^\alpha}=0[/tex]
che è falso, dal momento che, usando la definizione di tangente e Taylor trovi
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cos x-\sin x}{x^\alpha\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot(-x^2/2)}{x^\alpha}=
\lim_{x\to 0}-\frac{1}{2} x^{3-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \alpha<3\\ -1/2 & & \alpha=3\\ \infty & & \alpha>3
\end{array}\right.$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\ \Rightarrow\ f(x)\sin g(x)$[/tex]
dove $x_0$ può essere un qualsiasi numero reale oppure $\pm\infty$. In generale una buona parte di limiti possono essere risolti con confronti asintotici, mentre ciò non è più possibile quando i termini nei confronti asintotici si cancellano: ad esempio se calcoli con i confronti asintotici
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^\alpha}=0[/tex]
che è falso, dal momento che, usando la definizione di tangente e Taylor trovi
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cos x-\sin x}{x^\alpha\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot(-x^2/2)}{x^\alpha}=
\lim_{x\to 0}-\frac{1}{2} x^{3-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \alpha<3\\ -1/2 & & \alpha=3\\ \infty & & \alpha>3
\end{array}\right.$[/tex]
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