Limite di funzione
So che il seguente limite vale \(\displaystyle 1/3 \):
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}{[\sin(\frac{1}{x}) \sin(x^2)+\sin(\frac{1}{x})\frac{x^2}{2+3x}}] \)
ma non capisco cosa ci sia di sbagliato in questi passaggi. Chi mi spiega dove e per quale motivo sbaglio?
se pongo: \(\displaystyle y=\frac{1}{x} \) il limite diventa:
\(\displaystyle \lim_{y\to 0}[{\sin(y) \sin(\frac{1}{y^2}) + sin(y)\frac{1/y^2}{2+3/y}}] \)
se \(\displaystyle y\to 0 \) allora posso sostituire i seni con i rispettivi argomenti:
\(\displaystyle lim_{y\to 0}[{y \frac{1}{y^2} + y \frac{1}{y^2}\frac{y}{2y+3}}] = lim_{y\to 0}[{\frac{1}{y} + \frac{1}{2y+3}}] = \infty \)
Non ho bisogno del modo giusto con cui risolverlo. Lo conosco già e ho già verificato. Voglio solo capire quali sono gli errori e le inesattezze compiute usando il metodo che ho usato.
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}{[\sin(\frac{1}{x}) \sin(x^2)+\sin(\frac{1}{x})\frac{x^2}{2+3x}}] \)
ma non capisco cosa ci sia di sbagliato in questi passaggi. Chi mi spiega dove e per quale motivo sbaglio?
se pongo: \(\displaystyle y=\frac{1}{x} \) il limite diventa:
\(\displaystyle \lim_{y\to 0}[{\sin(y) \sin(\frac{1}{y^2}) + sin(y)\frac{1/y^2}{2+3/y}}] \)
se \(\displaystyle y\to 0 \) allora posso sostituire i seni con i rispettivi argomenti:
\(\displaystyle lim_{y\to 0}[{y \frac{1}{y^2} + y \frac{1}{y^2}\frac{y}{2y+3}}] = lim_{y\to 0}[{\frac{1}{y} + \frac{1}{2y+3}}] = \infty \)
Non ho bisogno del modo giusto con cui risolverlo. Lo conosco già e ho già verificato. Voglio solo capire quali sono gli errori e le inesattezze compiute usando il metodo che ho usato.
Risposte
"lucamennoia":
... allora posso sostituire i seni con i rispettivi argomenti ...
Certamente non in $sin(1/y^2)$, visto che l'argomento diverge.
...giusto...bastava considerare quel seno come una funzione limitata e il gioco era fatto. Grazie 
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