Limite di funzione

[FM931]

Buon pomeriggio ,
qualcuno puoi aiutarmi con il seguente limite di funzione ?

$ lim_(x -> 1)\frac{(1+logx)^{\frac{1}{3}}-1}{log^2(1+(x-1)^{\frac{1}{3}})}sin(\frac{1}{x-1}) $

Svolgimento

$ lim_(x -> 1) \frac{\frac{(1+logx)^{\frac{1}{3}}-1}{logx}logx}{(\frac{log^2(1+(x-1)^{\frac{1}{3})}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}})(x-1)^{\frac{2}{3}}}sin(\frac{1}{x-1})=lim_(x -> 1) \frac{\frac{1}{3}logx }{(x-1)^{\frac{2}{3}}}sen\frac{1}{x-1} $

E qui mi blocco
Suggerimenti ?

[@melia]

Ma come, fai tutto il caos e poi ti fermi su qualcosa di banale (=lo stesso che hai appena visto, ma più facile)?
Ricordando che $lim_(x->0) (log (x +1))/x =1$, allora $lim_(x->1) (log x)/(x-1) =1$
$lim_(x -> 1) 1/3 (log x)/(x-1) *(x-1)^(1/3)*sin(1/(x-1))=1/3*1*0*lim_(x -> 1) sin(1/(x-1))=0$

[FM931]

Grazie non ci avevo fatto caso
Non mi è chiara una cosa però:

"@melia":$lim_(x -> 1) sin(1/(x-1))=0$

Perchè converge a zero ?

[@melia]

Non converge a zero, è solo un numero finito compreso tra -1 e 1, che moltiplicato per 0, dà 0.

[FM931]

Ah ho capito : ti riferisci al prodotto di una funzione limitata per una infinitesima che da zero.
Ok tutto chiaro. Grazie