Limite di funz a due variabili
Scusate... sono sempre io =)
Ora mi sto imbattendo nei limiti di funzioni a due variabili:
lim (x^4+xy^3)/sin(x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)
L'unica cosa che so è che bisogna impostare
x=a+ro cos(teta) e
y=b+ro sen(teta)
Una volta sostituiti come procedo? Come al solito chiedo un metodo generale per la risoluzione... Ancora infinite grazie a tutti!!!
Ivano
Ora mi sto imbattendo nei limiti di funzioni a due variabili:
lim (x^4+xy^3)/sin(x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)
L'unica cosa che so è che bisogna impostare
x=a+ro cos(teta) e
y=b+ro sen(teta)
Una volta sostituiti come procedo? Come al solito chiedo un metodo generale per la risoluzione... Ancora infinite grazie a tutti!!!
Ivano
Risposte
a e b sono i valori cui tendono x e y. In questo caso 0.
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
Sostituendo:
r^4 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) ) / sin(r^2)
Il sin(r^2) --> r^2 e quindi l'espressione diventa:
r^2 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) )
che tende a 0 indipendentemente da t. In caso contrario avresti dovuto discutere la dipendenza da t.
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
Sostituendo:
r^4 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) ) / sin(r^2)
Il sin(r^2) --> r^2 e quindi l'espressione diventa:
r^2 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) )
che tende a 0 indipendentemente da t. In caso contrario avresti dovuto discutere la dipendenza da t.
Non riesco a capire perché
r^4 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) ) / sin(r^2)
e specialmente perché r^4 moltiplica tutto il numeratore.
nel limite (1-cosx^2y^2)/(x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)
come mi devo comportare? forse con un altro esempio riesco a capire meglio...
Io ho sostituito e diventa
1-cos(rcos(t)^2 * rsin(t)^2)/(rcos(t)^2+rsin(t)^2)
Devo giocare con seni e coseni? Come fare? Non riesco proprio a capire =(
Grazie tante
Ivano
r^4 * ( (cos(t))^4 + (sin(t))^3 * cos(t) ) / sin(r^2)
e specialmente perché r^4 moltiplica tutto il numeratore.
nel limite (1-cosx^2y^2)/(x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)
come mi devo comportare? forse con un altro esempio riesco a capire meglio...
Io ho sostituito e diventa
1-cos(rcos(t)^2 * rsin(t)^2)/(rcos(t)^2+rsin(t)^2)
Devo giocare con seni e coseni? Come fare? Non riesco proprio a capire =(
Grazie tante
Ivano
r^4 al numeratore viene fuori da x^4 e xy^3. Quando sostituisci x=r*cos(t) e y=r*sin(t) viene fuori un fattore comune r^4.
Per quanto riguarda l'altro limite:
(1-cos(x^2*y^2))/(x^2+y^2)
Il denominatore (dopo la solita sostituzione) vale r^2 (infatti cos^2 + sin^2 = 1).
Il numeratore diventa:
1-cos(r^4 * (cos(t))^2 (sin(t))^2 )
L'argomento del coseno è infinitesimo per r-->0 quindi posso espanderlo in serie di McLaurin ( cos(x)=1-(x^2)/2+...):
1-cos(r^4 * (cos(t))^2 (sin(t))^2 ) =
= 1 - [ 1 - (1/2) r^8 (cos(t))^4 (sin(t))^4 + ... ] =
= (1/2) r^8 (cos(t))^4 (sin(t))^4
Ora, dividendo per il denominatore che era r^2...:
(1/2) r^6 (cos(t))^4 (sin(t))^4
che tende a 0 indipendentemente da t.
Per quanto riguarda l'altro limite:
(1-cos(x^2*y^2))/(x^2+y^2)
Il denominatore (dopo la solita sostituzione) vale r^2 (infatti cos^2 + sin^2 = 1).
Il numeratore diventa:
1-cos(r^4 * (cos(t))^2 (sin(t))^2 )
L'argomento del coseno è infinitesimo per r-->0 quindi posso espanderlo in serie di McLaurin ( cos(x)=1-(x^2)/2+...):
1-cos(r^4 * (cos(t))^2 (sin(t))^2 ) =
= 1 - [ 1 - (1/2) r^8 (cos(t))^4 (sin(t))^4 + ... ] =
= (1/2) r^8 (cos(t))^4 (sin(t))^4
Ora, dividendo per il denominatore che era r^2...:
(1/2) r^6 (cos(t))^4 (sin(t))^4
che tende a 0 indipendentemente da t.
Forse conviene ,anziche' usare coordinate
polari,porre y=mx e provare che il limite
per x-->0 ( quindi per y-->0) e' indipendente da m.
Infatti per il limite cercato L si ha (ometto x-->0):
L=lim((x^4+x*mx^3)/(sin(x^2+m^2*x^2))
L=lim(x^4(1+m^4))/sin(x^2(1+m^2)).
Aggiustando un po' le cose risulta:
L=lim(x^2(1+m^2)/sin(x^2(1+m^2))*lim((x^2(1+m^4))/(1+m^2))
Ora il primo limite a secondo membro vale 1 (e' un limite notevole) e
l'altro vale 0.Dunque
L=0 .
Siccome questo limite e' indipendente da m ,si puo' concludere che
il limite richiesto e' 0.
Purtroppo per questo tipo di esercizi ,che io sappia,non ci sono
procedimenti standard.
karl.
polari,porre y=mx e provare che il limite
per x-->0 ( quindi per y-->0) e' indipendente da m.
Infatti per il limite cercato L si ha (ometto x-->0):
L=lim((x^4+x*mx^3)/(sin(x^2+m^2*x^2))
L=lim(x^4(1+m^4))/sin(x^2(1+m^2)).
Aggiustando un po' le cose risulta:
L=lim(x^2(1+m^2)/sin(x^2(1+m^2))*lim((x^2(1+m^4))/(1+m^2))
Ora il primo limite a secondo membro vale 1 (e' un limite notevole) e
l'altro vale 0.Dunque
L=0 .
Siccome questo limite e' indipendente da m ,si puo' concludere che
il limite richiesto e' 0.
Purtroppo per questo tipo di esercizi ,che io sappia,non ci sono
procedimenti standard.
karl.
grazie mille, purtroppo non so cosa sia una espansione in serie di mcLaurin ma non fa nulla =)
devo concentrarmi anche su altre cose
Grazie ancora
Ivano
devo concentrarmi anche su altre cose
Grazie ancora
Ivano
Provare che il limite è =0 lungo ogni retta non è equivalente a dire che il limite vale 0. Ci si può avvicinare all'origine in infiniti modi. Non è sufficiente provare che il limite ha un certo valore lungo tutte le rette.
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