Limite di $\frac{sin(xy)}{xy}$

[broccolo99]

Buongiorno a tutti. Dovrei calcolare il limite
$$lim_{(x,y)\to \infty} \frac{sin(xy)}{xy}$$
Dato che $sin(xy) \leq 1$ allora $| \frac{sin(xy)}{xy} | \leq |\frac{1}{xy} |$.
Ora però non sono sicuro che mi basti per concludere. Cioè, è chiaro che
$$lim_{(x,y) \to \infty} | \frac{1}{xy}|=0$$
ma non saprei come minorare con una funzione di una variabile per dimostrare rigorosamente l’ultimo passaggio.
Se considero $x>1$ ottengo il risultato, ma non sono convinto che io possa farlo o sia solo una particolare restrizione.

[Mephlip]

Immagino che tu intenda $\| (x,y) \| \to +\infty$. Che succede per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ sui punti del tipo $\left(n,\frac{1}{n}\right)$ per $n\to+\infty$? E su quelli del tipo $(x,1)$ per $x \to +\infty$?

[broccolo99]

Lungo i punti della forma $(n, \frac{1}{n})$ ottengo
$$|\frac{sin(n \cdot \frac{1}{n})}{n\cdot \frac{1}{n}}|=\frac{sin(1)}{1}$$
mentre lungo i punti della forma $(x,1)$
$$|\frac{sin(x)}{x}| \leq |\frac{1}{x}| \to 0 $$
per cui il limite non dovrebbe esistere. Ero convinto che andasse a $0$ per Wolfram, avrò scritto male l’input probabilmente.
Grazie mille

[Mephlip]

Prego! Esatto, non esiste per il motivo da te riportato a patto di togliere il modulo nel caso $\left(n,\frac{1}{n}\right)$: mentre su $(x,1)$ devi dimostrare che tende a $0$ per $x \to +\infty$, nel caso di $\left(n,\frac{1}{n}\right)$ hai che la funzione vale costantemente $\sin1$ e quindi non serve passare per il modulo per stabilire il suo limite per $n \to +\infty$.

Quindi, attenzione: è falso che $\frac{1}{xy} \to 0$ per $\| (x,y) \| \to +\infty$.

Diffida spesso di Wolfram, specialmente quando ci sono di mezzo funzioni di più variabili e moduli.