Limite di (1-tan x)(tan 6x) per x->pi/4
Limite di (1-tan x)(tan 6x) per x->pi/4
Qualcuno sa come svolgere questo limite? Non riesco né con de l'hospital, né con gli sviluppi di taylor.
Grazie a chi mi salverá
!
Qualcuno sa come svolgere questo limite? Non riesco né con de l'hospital, né con gli sviluppi di taylor.
Grazie a chi mi salverá
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Risposte
Non è una forma indeterminata, per cui usare de l'Hopital non ha senso. E comunque è un limite immediato...
Se lo riscrivi come tan(6x)/(1/(1-tan x)) diventa una forma indeterminata eccome. Sará immediato, ma io non riesco a cogliere cosi facilemnte la soluzione. Potresti spiegarmela gentilmente 
?
Ti ringrazio molto!
?Ti ringrazio molto!
C'é qualche buon'anima disposta a spiegarmelo? É davvero importante 
Grazie!
Grazie
!
Primo consiglio: anche se sei abbastanza nuovo, un po' alla volta inizia a scrivere le formule con l'editor di LaTeX apposito che c'è qui. In questo modo sono molto più leggibili.
Venendo al limite in questione questo in realtà non è una forma indeterminata, semplicemente non esiste se scritto nella sua forma iniziale, poiché si ha:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (1 - \tan(x)) \cdot \tan(6x) = (1 - \tan (\frac{\pi}{4})) \cdot \tan(6 \cdot \frac{\pi}{4}) = (1 - 1) \cdot \tan (\frac{3}{2}\pi)$ = $0 \cdot \tan (\frac{3}{2}\pi)$. Poiché la tangente è periodica di periodo $\pi$ abbiamo che $\tan (\frac{3}{2}\pi) = \tan (\frac{\pi}{2})$ che non esiste e pertanto l'espressione risultante dal limite precedente è priva di significato.
Si può aggirare il tutto con una semplice sostituzione e ricorrendo ai limiti notevoli. Difatti si può porre $t = x - \frac{\pi}{4}$ da cui $x = t + \frac{\pi}{4}$ e pertanto per $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ si ha $t \rightarrow 0$.
Riscriviamo ora il limite dopo tale sostituzione e vediamo cosa otteniamo:
$\lim_{t \to 0} (1 - \tan(t + \frac{\pi}{4})) \cdot \tan(6(t + \frac{\pi}{4}))$ = $\lim_{t \to 0} (1 - \tan(t + \frac{\pi}{4})) \cdot \frac{\tan(6(t + \frac{\pi}{4}))}{6(t + \frac{\pi}{4})} \cdot 6(t + \frac{\pi}{4}) = 0 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}\pi = 0$.
Ti torna? Spero di esserti stato d'aiuto.
Venendo al limite in questione questo in realtà non è una forma indeterminata, semplicemente non esiste se scritto nella sua forma iniziale, poiché si ha:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (1 - \tan(x)) \cdot \tan(6x) = (1 - \tan (\frac{\pi}{4})) \cdot \tan(6 \cdot \frac{\pi}{4}) = (1 - 1) \cdot \tan (\frac{3}{2}\pi)$ = $0 \cdot \tan (\frac{3}{2}\pi)$. Poiché la tangente è periodica di periodo $\pi$ abbiamo che $\tan (\frac{3}{2}\pi) = \tan (\frac{\pi}{2})$ che non esiste e pertanto l'espressione risultante dal limite precedente è priva di significato.
Si può aggirare il tutto con una semplice sostituzione e ricorrendo ai limiti notevoli. Difatti si può porre $t = x - \frac{\pi}{4}$ da cui $x = t + \frac{\pi}{4}$ e pertanto per $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ si ha $t \rightarrow 0$.
Riscriviamo ora il limite dopo tale sostituzione e vediamo cosa otteniamo:
$\lim_{t \to 0} (1 - \tan(t + \frac{\pi}{4})) \cdot \tan(6(t + \frac{\pi}{4}))$ = $\lim_{t \to 0} (1 - \tan(t + \frac{\pi}{4})) \cdot \frac{\tan(6(t + \frac{\pi}{4}))}{6(t + \frac{\pi}{4})} \cdot 6(t + \frac{\pi}{4}) = 0 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}\pi = 0$.
Ti torna? Spero di esserti stato d'aiuto.
1) grazie x il consiglio, vedrò di imparare
2) purtroppo il limite é L=1/3
E mi é davvero un mistero come ci si arrivi
2) purtroppo il limite é L=1/3
E mi é davvero un mistero come ci si arrivi
Deve essermi sfuggito qualcosa nella prima soluzione che ho proposto, solo che sto ancora cercando di capire perché è errata.
In ogni caso il tuo risultato ($\frac{1}{3}$) mi torna dopo aver applicato il procedimento seguente. Se vogliamo applicare il teorema di De l'Hopital bisogna avere una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ (anche se in realtà si può dimostrare come si possa utilizzare anche per altre forme indeterminate). Abbiamo una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ se scriviamo il nostro limite nel modo seguente (utilizzo le formule di duplicazione della tangente poiché semplificano un attimo i conti, pur essendo il procedimento con quelle di addizione/sottrazione del tutto analogo): $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \tan(6x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \tan(2 \cdot 3x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \frac{\tan(3x) + \tan(3x)}{1 - \tan(3x) \cdot \tan(3x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \frac{2\tan(3x)}{1 - \tan^2(3x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{2\tan(3x) - 2 \tan(x) \cdot \tan(3x)}{1 - \tan^2(3x)}$.
Ora è sufficiente applicare De Hopital e, dopo un'opportuna semplificazione dei conti, si vede che questo limite vale $\frac{1}{3}$.
Fammi sapere se ti sono stato d'aiuto.
In ogni caso il tuo risultato ($\frac{1}{3}$) mi torna dopo aver applicato il procedimento seguente. Se vogliamo applicare il teorema di De l'Hopital bisogna avere una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ (anche se in realtà si può dimostrare come si possa utilizzare anche per altre forme indeterminate). Abbiamo una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ se scriviamo il nostro limite nel modo seguente (utilizzo le formule di duplicazione della tangente poiché semplificano un attimo i conti, pur essendo il procedimento con quelle di addizione/sottrazione del tutto analogo): $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \tan(6x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \tan(2 \cdot 3x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \frac{\tan(3x) + \tan(3x)}{1 - \tan(3x) \cdot \tan(3x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(1 -tan(x)) \cdot \frac{2\tan(3x)}{1 - \tan^2(3x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{2\tan(3x) - 2 \tan(x) \cdot \tan(3x)}{1 - \tan^2(3x)}$.
Ora è sufficiente applicare De Hopital e, dopo un'opportuna semplificazione dei conti, si vede che questo limite vale $\frac{1}{3}$.
Fammi sapere se ti sono stato d'aiuto.
Ti ringrazio molto, ora é chiaro.
Ma se io volessi evitare di usare le formule della tangente?
Per esempio scrivendo tan 6x/(1/(1-tanx))
Xche facendo cosi, anche li posso usare de l'hospital, ma arrivo di nuovo a una forma indeterminata, quindi devo riapplicare hopital nuovamente e non mi viene fuori nulla. Sai per caso xché?
Scusa se rompo eh, solo che sto limite mi crea qualche difficolta
Ma se io volessi evitare di usare le formule della tangente?
Per esempio scrivendo tan 6x/(1/(1-tanx))
Xche facendo cosi, anche li posso usare de l'hospital, ma arrivo di nuovo a una forma indeterminata, quindi devo riapplicare hopital nuovamente e non mi viene fuori nulla. Sai per caso xché?
Scusa se rompo eh, solo che sto limite mi crea qualche difficolta
Nel procedimento da te descritto ottieni la forma $\frac{0}{\frac{1}{0}}$. Al denominatore abbiamo divisione (frazione) impossibile ma non otteniamo complessivamente la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ e pertanto non possiamo applicare De l'Hopital.
Scusa ma se scrivo come dico io viene una forma indefinita di forma [+∞]/[+∞] non di 0/(1/0)
Quindi de l'hospital é applicabile per forza. Xò non viene lo stesso
Quindi de l'hospital é applicabile per forza. Xò non viene lo stesso
"albisiervo":
Scusa ma se scrivo come dico io viene una forma indefinita di forma [+∞]/[+∞] non di 0/(1/0)
Quindi de l'hospital é applicabile per forza. Xò non viene lo stesso
Chiedo scusa, rettifico un attimo il discorso sulla forma indeterminata: chiedo venia, anche all'inizio si ha una forma indeterminata...
In ogni caso ho provato ad eseguirlo come dici te e ti confermo che per arrivare alla conclusione è necessario applicare tre volte De l'Hopital, non due come dici te (ed ovviamente mi torna $\frac{1}{3}$ come risultato finale). Come puoi intuire inoltre in tal caso i calcoli sono decisamente più laboriosi da eseguire... Se avrai pazienza li potrò postare ma chiaramente mi ci vorrebbe molto tempo.
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