Limite destro e sinistro
Ciao a tutti.
Vorrei chiedervi una spiegazione esaustiva sul calcolo del limite destro e sinistro di una funzione.
In rete ho trovato diverse cose, come per esempio calcolare il limite destro come $X_0+ = X_0 + 0,00001$, ovvero
aggiungendo (o sottraendo) una quantità estremamente piccola.
In altri casi mi è stato consigliato di guardare il grafico, ma nn ha senso, almeno per me.
Vorrei riuscire a capire il metodo per calcolare lim destro e sinistro.
Per esempio, provo a calcolare il limite dx e sx di questa funzione:
$f(x) = (x^2 + 12x)e^-(2/x)$
Calcolo prima il limite destro:
$lim_(x->0+) (12xe^-(2/x))(1+o(1))$
Da qui ora come dovrei proseguire?? intuitivamente porterei sotto la $e^-(2/x)$ ma non andrei
da nessuna parte!
E per il sinistro??
Vorrei chiedervi una spiegazione esaustiva sul calcolo del limite destro e sinistro di una funzione.
In rete ho trovato diverse cose, come per esempio calcolare il limite destro come $X_0+ = X_0 + 0,00001$, ovvero
aggiungendo (o sottraendo) una quantità estremamente piccola.
In altri casi mi è stato consigliato di guardare il grafico, ma nn ha senso, almeno per me.
Vorrei riuscire a capire il metodo per calcolare lim destro e sinistro.
Per esempio, provo a calcolare il limite dx e sx di questa funzione:
$f(x) = (x^2 + 12x)e^-(2/x)$
Calcolo prima il limite destro:
$lim_(x->0+) (12xe^-(2/x))(1+o(1))$
Da qui ora come dovrei proseguire?? intuitivamente porterei sotto la $e^-(2/x)$ ma non andrei
da nessuna parte!
E per il sinistro??
Risposte
Ma non fa $0$?
Non ho molto chiaro cosa fai nel calcolo di quel limite.
Fare il limite destro e sinistro è importante perché non sempre sono uguali (e, se differiscono, il limite non esiste). Prendi ad esempio la funzione $1/x$. Se fai tendere a $0^+$, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola positiva)=$+\infty$. Se arrivi invece da sinistra, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola negativa)=$-\infty$. Quindi come vedi due risultati decisamente diversi! E infatti lo vedi anche dal grafico.
Nel caso che presenti, la quantità $x^2+12x$ andrà a $0$ sia che $x\to 0^+$ o $x\to 0^-$. Invece
$\lim_{x\to 0^+} e^{-2/x}=0$ (perché avresti $e^{-\infty}$ visto che $2/x$ è positivo con $x\to 0^+$)
$\lim_{x\to 0^-} e^{-2/x}=+\infty$ (dato che $x$ è piccolo ma negativo, l'esponente della $e$ diventa positivo!)
Ora riesci a fare l'esercizio? Ricorda che $0\cdot \infty$ è una forma indeterminata.
Paola
Fare il limite destro e sinistro è importante perché non sempre sono uguali (e, se differiscono, il limite non esiste). Prendi ad esempio la funzione $1/x$. Se fai tendere a $0^+$, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola positiva)=$+\infty$. Se arrivi invece da sinistra, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola negativa)=$-\infty$. Quindi come vedi due risultati decisamente diversi! E infatti lo vedi anche dal grafico.
Nel caso che presenti, la quantità $x^2+12x$ andrà a $0$ sia che $x\to 0^+$ o $x\to 0^-$. Invece
$\lim_{x\to 0^+} e^{-2/x}=0$ (perché avresti $e^{-\infty}$ visto che $2/x$ è positivo con $x\to 0^+$)
$\lim_{x\to 0^-} e^{-2/x}=+\infty$ (dato che $x$ è piccolo ma negativo, l'esponente della $e$ diventa positivo!)
Ora riesci a fare l'esercizio? Ricorda che $0\cdot \infty$ è una forma indeterminata.
Paola
"prime_number":
Non ho molto chiaro cosa fai nel calcolo di quel limite.
Fare il limite destro e sinistro è importante perché non sempre sono uguali (e, se differiscono, il limite non esiste). Prendi ad esempio la funzione $1/x$. Se fai tendere a $0^+$, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola positiva)=$+\infty$. Se arrivi invece da sinistra, ottieni $1$ diviso (una quantità molto piccola negativa)=$-\infty$. Quindi come vedi due risultati decisamente diversi! E infatti lo vedi anche dal grafico.
Nel caso che presenti, la quantità $x^2+12x$ andrà a $0$ sia che $x\to 0^+$ o $x\to 0^-$. Invece
$\lim_{x\to 0^+} e^{-2/x}=0$ (perché avresti $e^{-\infty}$ visto che $2/x$ è positivo con $x\to 0^+$)
$\lim_{x\to 0^-} e^{-2/x}=+\infty$ (dato che $x$ è piccolo ma negativo, l'esponente della $e$ diventa positivo!)
Ora riesci a fare l'esercizio? Ricorda che $0\cdot \infty$ è una forma indeterminata.
Paola
Si in questo caso, dato che $X_0$ tendeva a 0+ o 0- potevo sapere che x in un caso era negativo e nell'altro positivo!!
Ora provo a risolvere gli esercizi in questo modo e vediamo!
Intanto grazie per la dritta!
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