Limite dello sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$
Mentre scrivevo lo sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$ mi è sorto un dubbio.
Ricordando che
$exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$
vale $\forall x$ reale, allora ponendo
$x := -n$
ottengo
$exp(-n) = 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$.
Il limite all'infinito di $exp(-n)$ è chiaramente $0$, ma se svolgo il limite dello sviluppo, ovvero
$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$
per la gerarchia degli infiniti il termine al quadrato è dominante e quindi il limite è $+\infty$.
In generale, aggiungendo altri termini dello sviluppo, ottengo infiniti che si aggiungono e sottraggono.
Magari è una sciocchezza, ma cosa mi sfugge?
Ricordando che
$exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$
vale $\forall x$ reale, allora ponendo
$x := -n$
ottengo
$exp(-n) = 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$.
Il limite all'infinito di $exp(-n)$ è chiaramente $0$, ma se svolgo il limite dello sviluppo, ovvero
$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$
per la gerarchia degli infiniti il termine al quadrato è dominante e quindi il limite è $+\infty$.
In generale, aggiungendo altri termini dello sviluppo, ottengo infiniti che si aggiungono e sottraggono.
Magari è una sciocchezza, ma cosa mi sfugge?
Risposte
Ciao CosenTheta,
Posso chiederti a cosa ti serve?
Perché non ti serve proprio se "per caso" devi risolvere una delle serie seguenti:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (e^-1)^n = 1/(1 - e^{-1}) = e/(e - 1) $
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^-1)^n = (\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n) - 1 = e/(e - 1) - 1 = 1/(e - 1) $
Posso chiederti a cosa ti serve?
Perché non ti serve proprio se "per caso" devi risolvere una delle serie seguenti:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (e^-1)^n = 1/(1 - e^{-1}) = e/(e - 1) $
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^-1)^n = (\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n) - 1 = e/(e - 1) - 1 = 1/(e - 1) $
"pilloeffe":
Posso chiederti a cosa ti serve?
Assolutamente. Stavo tentando di studiare la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} exp(-n) + exp(n^(-2)) - 1$.
che immagino io possa ricondurla, usando il tuo suggerimento, alla somma seguente
$\sum_{n = 1}^{\infty} exp(-n)$ $+ sum_{n = 1}^{\infty}exp(n^(-2)) - 1$.
e studiare solo il secondo addendo. Corretto?
No...
Casomai così:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(-n) + exp(n^(-2)) - 1] = \sum_{n = 1}^{+\infty} exp(-n) + \sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(n^-2) - 1] $
Casomai così:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(-n) + exp(n^(-2)) - 1] = \sum_{n = 1}^{+\infty} exp(-n) + \sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(n^-2) - 1] $
Proprio così, intendevo $exp(n^(-2)) - 1$ come un unico termine generale della seconda sommatoria.
Ti ringrazio del suggerimento.
Tuttavia, la mia curiosità resta.
Perché i due limiti
$\lim_{n->\infty} exp(-n)$
$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$
sembrano non fornire lo stesso risultato?
Ti ringrazio del suggerimento.
Tuttavia, la mia curiosità resta.
Perché i due limiti
$\lim_{n->\infty} exp(-n)$
$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$
sembrano non fornire lo stesso risultato?
Ma perché, mi pare, stai considerando due funzioni diverse senza accorgertene!
Una cosa è $e^x$ per $x<0$, un'altra cosa è la funzione $e^{-x}$.
Lo sviluppo in serie che hai fatto è quello di $e^x$, mentre il limite che calcoli è il limite di $e^{-x}$.
Con lo sviluppo in serie, se $x$ è negativo, stai approssimando la funzione $e^x$ in punti in cui $x$ è negativo, non stai prendendo la funzione $e^{-x}$
Una cosa è $e^x$ per $x<0$, un'altra cosa è la funzione $e^{-x}$.
Lo sviluppo in serie che hai fatto è quello di $e^x$, mentre il limite che calcoli è il limite di $e^{-x}$.
Con lo sviluppo in serie, se $x$ è negativo, stai approssimando la funzione $e^x$ in punti in cui $x$ è negativo, non stai prendendo la funzione $e^{-x}$
"gabriella127":
Lo sviluppo in serie che hai fatto è quello di $e^x$
Lo sviluppo della funzione $e^(-x) = 1/e^x$ mi risulta essere pari a $1 - x + x^2/2 - x^3/6 + o(x^3)$, come risulta anche da questo elenco
https://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm
Fin qui è corretto?
Sì, hai ragione, è lo sviluppo di $e^{-x}$.
Allora, io direi questo: quello è lo sviluppo di Taylor intorno a zero di $e^{-x}$ con un polinomio di secondo grado, è l'approssimazione di $e^{-x}$ con una parabola intorno a $0$.
Se vai a vedere, intorno a $0$ approssima bene, ha derivata negativa, ma appunto è un fatto locale, poi la parabola, per così dire, se ne va per conto suo, quando fai andare $x$ a infinito non è più una 'buona' approssimazione di $e^{-x}$.
Intendo dire, non è affatto detto che il polinomio approssimante e la funzione approssimata abbiano lo stesso limite, considera ad esempio l'approssimazione di primo grado, è una retta che se ne va a $-\infty$.
Allora, io direi questo: quello è lo sviluppo di Taylor intorno a zero di $e^{-x}$ con un polinomio di secondo grado, è l'approssimazione di $e^{-x}$ con una parabola intorno a $0$.
Se vai a vedere, intorno a $0$ approssima bene, ha derivata negativa, ma appunto è un fatto locale, poi la parabola, per così dire, se ne va per conto suo, quando fai andare $x$ a infinito non è più una 'buona' approssimazione di $e^{-x}$.
Intendo dire, non è affatto detto che il polinomio approssimante e la funzione approssimata abbiano lo stesso limite, considera ad esempio l'approssimazione di primo grado, è una retta che se ne va a $-\infty$.
Grazie.
Figurati, grazie a te per avere osservato questa cosa, anche io sono rimasta un momento perplessa, non ci avevo pensato.
Volvevo aggiungere che lo sviluppo di Taylor dell'esponenziale è
$ e^-x = 1-x+x^2+o(x^2) $ che vale per $ x ->0 $
l'o-piccolo ti dice di quanto stai sbagliando con la tua approssimazione,
mentre se scrivi l'esponenziale come serie allora l'errore io non so qual è, probabilmente si può calcolare, comunque sicuramente non è quello che hai scritto tu, infatti l'errore nel tuo caso sarebbe dato da:
$ Err(n) = e^-n -1+n-n^2 $
che applicando la definizione di o-piccolo non tende a zero se si divide per $n^2$ e neanche nel caso n vada a infinito (in quel caso $Err=-oo$)
$ e^-x = 1-x+x^2+o(x^2) $ che vale per $ x ->0 $
l'o-piccolo ti dice di quanto stai sbagliando con la tua approssimazione,
mentre se scrivi l'esponenziale come serie allora l'errore io non so qual è, probabilmente si può calcolare, comunque sicuramente non è quello che hai scritto tu, infatti l'errore nel tuo caso sarebbe dato da:
$ Err(n) = e^-n -1+n-n^2 $
che applicando la definizione di o-piccolo non tende a zero se si divide per $n^2$ e neanche nel caso n vada a infinito (in quel caso $Err=-oo$)
@Cannone Speciale: La serie di Taylor dell'esponenziale è la funzione esponenziale, non commetti alcun errore. Anzi, un possibile modo di definire le funzioni elementari è proprio quello di definirle tramite serie di potenze.
si lo so, forse non mi sono spiegato bene, volevo dire che l'o-piccolo dice quanto vale l'errore se tronchiamo lo sviluppo a un certo punto, lo so che nel caso di funzioni analitiche lo sviluppo di Taylor coincide con la funzione stessa
Sì, non era espresso bene perché hai scritto esplicitamente "serie" e quindi si sottintende che non si sta parlando di polinomio di Taylor di un certo grado $n$ fissato.
Il resto di Peano non ti dice "quanto vale l'errore", ti dice "come l'errore tende a $0$ quando $x \to x_0$" con $x_0$ punto in cui si sta centrando lo sviluppo. Due delle possibili forme di errore nel contesto degli sviluppi di Taylor, $\text{o}$-piccolo e Lagrange, differiscono proprio perché il primo è un errore "qualitativo" mentre il secondo è un errore "quantitativo".
"Cannone Speciale":
volevo dire che l'o-piccolo dice quanto vale l'errore se tronchiamo lo sviluppo a un certo punto
Il resto di Peano non ti dice "quanto vale l'errore", ti dice "come l'errore tende a $0$ quando $x \to x_0$" con $x_0$ punto in cui si sta centrando lo sviluppo. Due delle possibili forme di errore nel contesto degli sviluppi di Taylor, $\text{o}$-piccolo e Lagrange, differiscono proprio perché il primo è un errore "qualitativo" mentre il secondo è un errore "quantitativo".
si grazie ne ero al corrente, ma era per non scrivere troppo
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