Limite dell'integrale su $\mathbb{R}$ di $\frac{1}{t^2}$
Sto tentando di calcolare il limite seguente
\(\displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} \)
Sviluppo il numeratore
$\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt = \lim_{\epsilon \to 0} (\int_{-T}^{-\epsilon} \frac{1}{t^2} dt + \int_{+\epsilon}^{+T} \frac{1}{t^2} dt) = 2\lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\epsilon}^{+T} \frac{1}{t^2} dt$
per la parità dell'integranda.
Dunque, ricordando che una primitiva dell'integranda è $-\frac{1}{t}$, si ha che
$\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt = 2\lim_{\epsilon \to 0} [1/\epsilon - 1/T]$.
Ritornando al limite iniziale, si ha che
\( \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} = \lim_{T \to \infty} \lim_{\epsilon \to 0} \)$ [1/{T\epsilon} - 1/T^2] = 1/{\infty*0}$.
Un suggerimento per andare avanti? Grazie.
\(\displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} \)
Sviluppo il numeratore
$\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt = \lim_{\epsilon \to 0} (\int_{-T}^{-\epsilon} \frac{1}{t^2} dt + \int_{+\epsilon}^{+T} \frac{1}{t^2} dt) = 2\lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\epsilon}^{+T} \frac{1}{t^2} dt$
per la parità dell'integranda.
Dunque, ricordando che una primitiva dell'integranda è $-\frac{1}{t}$, si ha che
$\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt = 2\lim_{\epsilon \to 0} [1/\epsilon - 1/T]$.
Ritornando al limite iniziale, si ha che
\( \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} = \lim_{T \to \infty} \lim_{\epsilon \to 0} \)$ [1/{T\epsilon} - 1/T^2] = 1/{\infty*0}$.
Un suggerimento per andare avanti? Grazie.
Risposte
Credo che questa domanda sia legata all'altra sulla trasformata di Fourier.
Direi che la confusione nasce dal fatto che prendi i limiti contemporaneamente, ma mi viene da dire che questo modo di procedere non e' corretto.
Qui dovresti prendere prima il limite $\epsilon \to 0$ e solo dopo che hai valutato questo limite puoi passare a quello successivo $T \to 0$
\( \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} = \lim_{T \to \infty} \lim_{\epsilon \to 0} \)$ [1/{T\epsilon} - 1/T^2] = 1/{\infty*0}$.
Cioe' i due limiti vanno visti in modo separato. Volendo possiamo aggiungere delle parentesi cosi':
$\lim_{T \to \infty} (\lim_{\epsilon \to 0} [1/{T\epsilon} - 1/T^2]) $
$T$ e' una quantita' finita, quando valuti il primo limite, e quindi si conclude che il limite e' $\infty$, ovvero non esiste.
L'altro limite quindi non ha senso, perche' stai operando su una quantita' che non esiste.
In altre parole, l'operazione di limite non e' commutativa. In generale e' falso che $lim_{x \to a} lim_{y \to b} f(x,y) = lim_{y \to b} lim_{x \to a} f(x,y)$
Pero' e' necessario sentire anche altri pareri su questa domanda.
Direi che la confusione nasce dal fatto che prendi i limiti contemporaneamente, ma mi viene da dire che questo modo di procedere non e' corretto.
Qui dovresti prendere prima il limite $\epsilon \to 0$ e solo dopo che hai valutato questo limite puoi passare a quello successivo $T \to 0$
\( \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{\int_{-T}^{+T} \frac{1}{t^2} dt}{2T} = \lim_{T \to \infty} \lim_{\epsilon \to 0} \)$ [1/{T\epsilon} - 1/T^2] = 1/{\infty*0}$.
Cioe' i due limiti vanno visti in modo separato. Volendo possiamo aggiungere delle parentesi cosi':
$\lim_{T \to \infty} (\lim_{\epsilon \to 0} [1/{T\epsilon} - 1/T^2]) $
$T$ e' una quantita' finita, quando valuti il primo limite, e quindi si conclude che il limite e' $\infty$, ovvero non esiste.
L'altro limite quindi non ha senso, perche' stai operando su una quantita' che non esiste.
In altre parole, l'operazione di limite non e' commutativa. In generale e' falso che $lim_{x \to a} lim_{y \to b} f(x,y) = lim_{y \to b} lim_{x \to a} f(x,y)$
Pero' e' necessario sentire anche altri pareri su questa domanda.
Grazie della risposta.
Il mio scopo è tentare di capire la natura del segnale $x(t) = 1/t$, cioè stabilire se sia di energia o di potenza tramite l'utilizzo delle definizioni, ma non riesco a calcolare né l'una né l'altra.
Perchè dici che se il limite è $\infty$ allora non esiste? Cioè, queste due casistiche
\(\displaystyle \nexists \lim_{x \to \infty} \sin(x) \)
$\lim_{x \to \infty} x = \infty$
non dovrebbero essere due cose diverse?
Il mio scopo è tentare di capire la natura del segnale $x(t) = 1/t$, cioè stabilire se sia di energia o di potenza tramite l'utilizzo delle definizioni, ma non riesco a calcolare né l'una né l'altra.
"Quinzio":
il limite e' $ \infty $, ovvero non esiste.
Perchè dici che se il limite è $\infty$ allora non esiste? Cioè, queste due casistiche
\(\displaystyle \nexists \lim_{x \to \infty} \sin(x) \)
$\lim_{x \to \infty} x = \infty$
non dovrebbero essere due cose diverse?
"CosenTheta":
\(\displaystyle \nexists \lim_{x \to \infty} \sin(x) \)
$\lim_{x \to \infty} x = \infty$
non dovrebbero essere due cose diverse?
Ti potrei rispondere che "infinito" non e' un numero, oppure che e' un numero che non esiste.
"CosenTheta":
Grazie della risposta.
Il mio scopo è tentare di capire la natura del segnale $x(t) = 1/t$, cioè stabilire se sia di energia o di potenza tramite l'utilizzo delle definizioni, ma non riesco a calcolare né l'una né l'altra.
Allora, non è né l'uno né l'altro, no?
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