Limite della successione
Salve a tutti ho un problema ho fatto un esercizio ma ho un forte dubbio voi come lo risolvereste?
Mi potete aiutare per favore?
Questo è il limite:
$ lim_(n -> oo) x-((x+1)^(n))/n $
io l'ho svolto così ho considerato che:
$ lim_(n -> oo) (x+1)^(n){ ( +oo hArr x+1>=0rArr x>=0 ),( 1 hArr x+1=1rArr x=0 ),( 0hArr -1<=x+1<=1rArr -2<=x<=0 ),( negEE hArr x+1<=-1rArr x<=-2 ):} $
Quindi credo che nel caso in cui sia uguale a $0$ dovrebbe il limite essere così:
$ lim_(n -> oo) x-1/n=x $
Nel caso in cui sia compreso tra $-2$ e $0$ dovrebbe essere così:
$ lim_(n -> oo) x-0/n=x $
Nel caso in cui sia maggiore di $0$ dovrebbe essere che il numeratore è un infinito maggiore del denominatore? E quindi è così?
$ lim_(n -> oo) x-((x+1)^(n))/n=+oo $
Oppure molto probabilmente non ne ho azzeccata nemmeno una?Scusate per il se soltanto se e per neg esiste ma non riuscivo a scriverli
Mi potete aiutare per favore?
Questo è il limite:
$ lim_(n -> oo) x-((x+1)^(n))/n $
io l'ho svolto così ho considerato che:
$ lim_(n -> oo) (x+1)^(n){ ( +oo hArr x+1>=0rArr x>=0 ),( 1 hArr x+1=1rArr x=0 ),( 0hArr -1<=x+1<=1rArr -2<=x<=0 ),( negEE hArr x+1<=-1rArr x<=-2 ):} $
Quindi credo che nel caso in cui sia uguale a $0$ dovrebbe il limite essere così:
$ lim_(n -> oo) x-1/n=x $
Nel caso in cui sia compreso tra $-2$ e $0$ dovrebbe essere così:
$ lim_(n -> oo) x-0/n=x $
Nel caso in cui sia maggiore di $0$ dovrebbe essere che il numeratore è un infinito maggiore del denominatore? E quindi è così?
$ lim_(n -> oo) x-((x+1)^(n))/n=+oo $
Oppure molto probabilmente non ne ho azzeccata nemmeno una?Scusate per il se soltanto se e per neg esiste ma non riuscivo a scriverli
Risposte
Potete darmi qualche indizio su come devo svolgerlo e cosa devo ripassarmi?
Ciao Dr.Stranamore,
Benvenuto sul forum!
Sì, qualche errore l'hai fatto...
Comincerei con l'osservare che se $x = 0 $ il limite risulta $x $ e quindi risulta $0$;
per $x > 0 $ il secondo termine tende a $\-infty $ che è anche il risultato del limite;
per $|x + 1| < 1 \iff - 2 < x < 0 $ il limite risulta $x$;
per $x = - 2 $ il limite risulta $-2 $ in quanto $(-1)^n/n \to 0 $;
per $x < - 2 $ il limite non esiste.
Quindi se non ho fatto male i conti il limite proposto mi risulta come segue:
$ lim_{n \to +\infty} x-((x+1)^(n))/n = {(-\infty \text{ se } x > 0),(x \text{ se } -2 \le x \le 0),(\text{non esiste se } x < -2 ):} $
Benvenuto sul forum!
"Dr.Stranamore":
molto probabilmente non ne ho azzeccata nemmeno una
Sì, qualche errore l'hai fatto...
Comincerei con l'osservare che se $x = 0 $ il limite risulta $x $ e quindi risulta $0$;
per $x > 0 $ il secondo termine tende a $\-infty $ che è anche il risultato del limite;
per $|x + 1| < 1 \iff - 2 < x < 0 $ il limite risulta $x$;
per $x = - 2 $ il limite risulta $-2 $ in quanto $(-1)^n/n \to 0 $;
per $x < - 2 $ il limite non esiste.
Quindi se non ho fatto male i conti il limite proposto mi risulta come segue:
$ lim_{n \to +\infty} x-((x+1)^(n))/n = {(-\infty \text{ se } x > 0),(x \text{ se } -2 \le x \le 0),(\text{non esiste se } x < -2 ):} $
A quindi tutto sommato più o meno andava bene 
non c'è bisogno di fare maggiorazioni o barba trucchi vari giusto?
non c'è bisogno di fare maggiorazioni o barba trucchi vari giusto?
"Dr.Stranamore":
tutto sommato più o meno andava bene
Diciamo che hai un po' sovrapposto i casi quando hai considerato il $ lim_{n \to +infty} (x + 1)^n $, anche perché non hai potuto vedere che il limite di una successione limitata per una infinitesima tende a $0$ e poi hai decisamente sbagliato quando
"Dr.Stranamore":
$ lim_{n \to +infty} x-((x+1)^(n))/n = +\infty $
solo perché ti sei lasciato fuorviare dal risultato che avevi ottenuto considerando il $ lim_{n \to +infty} (x + 1)^n $, ma l'idea c'è...
"pilloeffe":
[quote="Dr.Stranamore"]tutto sommato più o meno andava bene
Diciamo che hai un po' sovrapposto i casi quando hai considerato il $ lim_{n \to +infty} (x + 1)^n $, anche perché non hai potuto vedere che il limite di una successione limitata per una infinitesima tende a $0$ e poi hai decisamente sbagliato quando
"Dr.Stranamore":
$ lim_{n \to +infty} x-((x+1)^(n))/n = +\infty $
solo perché ti sei lasciato fuorviare dal risultato che avevi ottenuto considerando il $ lim_{n \to +infty} (x + 1)^n $, ma l'idea c'è...
[/quote]Scusami se rompo volevo farti un ultima domanda per vedere se ho capito e se sono riuscito a risolvere bene l'esercizio, e non mi fraintendete per uno che vuole la pappa pronta ma aiutatemi a capire, se potete aiutarmi
L'esercizio mi chiede se converge uniformemente, e stabilire in quali dei seguenti intervalli $[-1,0]$ e $[-1,-1/2]$ sono verificate il teorema del passaggio sotto il segno della derivata.
Allora per la convergenza uniforme vado a considerare che se $-2
Per cui per studiare la convergenza uniforme vado a considerare il limite dell'estremo superiore della
funzione e vedere se è una quantità infinitesima.
$ lim_{n \to +infty} s.up|x-((x+1)^(n))/n -x |= lim_{n \to +infty} s.up|((x+1)^(n))/n | $
Vado a studiarmi il segno della derivata prima:
$ f'_n(x)=-(n(x+1)^n)/n=-(x+1)^n>0rArr x>-1 $ e capisco che $-1$ è il mio massimo
Sostituisco all'interno della funzione il valore $-1$:
$ lim_{n \to +infty} f_n(-1)= lim_{n \to +infty} x-((x+1)^(n))/n=-1 $ e capisco che per $-2
Ora vado a considerare che se $x=-2$ allora:
$ lim_{n \to +infty} x-((x+1)^(n))/n =0 $.
Studio il limite dell'estremo superiore:
$ lim_{n \to +infty} s.up|x-((x+1)^(n))/n | $
Studio il segno:
$ f'_n(x)=1-(n(x+1)^n)/n=(x+1)^n<1rArr x<0 $ e capisco che $0$ è il mio massimo
Sostituisco all'interno della funzione il valore $0$:
$ lim_{n \to +infty} f_n(0)= lim_{n \to +infty} x-((x+1)^(n))/n=0 $ e capisco che per $x=-2$ converge uniformemente.
Mo chissà che ho combinato
so che è lecito il passaggio è valido se sono verificate queste ipotesi:
- $f_n$ è derivabile con derivata continua in $[a,b]$
- se $f_n(x)$ converge puntualmente verso $f(x)$ in $[a,b]$
- se $f'_n$ converge uniformemente
- se $f'_n$ converge uniformemente vergo $g(x)$
Qua ho qualche dubbio come dovrei fare? Devo fare le derivate delle funzioni nei punti e vedere se esistono? la funzione converge uniformemente solo a 0 quindi non dovrebbero essere verificate in quegli intervalli
Scusate se rompo ma nessun consiglio o dritta?
Grazie a tutti lo stesso
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