Limite della derivata

[Nickbru1]

sia f una funzione definita in (0,1) derivabile;
Allora $lim_{x \rightarrow 0^+}f'(x)$ esiste finito è falso

Perché?

[axpgn]

$f(x)=1/x$

[Nickbru1]

...per oggi posso andare a dormire...

[dissonance]

Comunque la giri, sarà sempre falso. Alex ha mostrato un esempio in cui la derivata esplode a \(+\infty\), e quindi il limite non esiste. Ma puoi persino trovare una funzione \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), ovvero definita ovunque, che è continua ovunque, derivabile ovunque e tale che
\[
\lim_{x\to 0} f'(x)\ \text{ non esiste.}\]
L'esempio classico è
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac1x , & x\ne 0, \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
La morale è che la sola esistenza della derivata non implica mai la continuità della stessa.