Limite della derivata
Ciao a tutti, in uno scritto di analisi I vi era il quesito :
Sia $ f $ una funzione derivabile in $ [0,+oo) $ tale che :
$ lim _(xrarr +oo) f'(x) = L in (0,+oo) $
La domanda è
1) Dimostrare o confutare che $ f $ ha asintoto obliquo.
Allora la confutazione di questa dimostrazione è facile, tramite controesempio. Scelgo infatti la funzione
$ f(x) = ln(x+1) + x $ che ammette derivata prima nell' intervallo richiesto ed ha un limite finito infatti :
$ f'(x) = 1/(x+1) + 1 $ che al limite tende ad uno, ma la funzione ovviamente non ha asintoto obliquo.
La mia domanda però è... con questa confutazione si dimostra che la proposizione di cui prima è falsa, però, almeno per me, intuitivamente all' inizio ho pensato fosse vera... In realtà non so perchè, forse sono legato ad un tipo di costruzione mentale della situazione sbagliata, volevo sapere a livello immaginativo (grafico se vogliamo) come posso convincermi che non necessariamente ammette asintoto. Aldilà del controesempio, qual è la ragione per cui in generale non ammette asintoto?
Sia $ f $ una funzione derivabile in $ [0,+oo) $ tale che :
$ lim _(xrarr +oo) f'(x) = L in (0,+oo) $
La domanda è
1) Dimostrare o confutare che $ f $ ha asintoto obliquo.
Allora la confutazione di questa dimostrazione è facile, tramite controesempio. Scelgo infatti la funzione
$ f(x) = ln(x+1) + x $ che ammette derivata prima nell' intervallo richiesto ed ha un limite finito infatti :
$ f'(x) = 1/(x+1) + 1 $ che al limite tende ad uno, ma la funzione ovviamente non ha asintoto obliquo.
La mia domanda però è... con questa confutazione si dimostra che la proposizione di cui prima è falsa, però, almeno per me, intuitivamente all' inizio ho pensato fosse vera... In realtà non so perchè, forse sono legato ad un tipo di costruzione mentale della situazione sbagliata, volevo sapere a livello immaginativo (grafico se vogliamo) come posso convincermi che non necessariamente ammette asintoto. Aldilà del controesempio, qual è la ragione per cui in generale non ammette asintoto?
Risposte
Nelle tue ipotesi,per il Marchese,potrai in effetti dire di certo che $EElim_(x to +oo)(f(x))/x=L$ $inRR$:
solo che,come proprio il controesempio da te individuato dimostra,ciò non comporta che,
ammesso e non concesso esista,il $lim_(x to +oo)[f(x)-Lx]$ sia un numero reale
(fondamentalmente perché,a fartela breve,c'è una classe di funzioni,quale ad esempio la $f(x)="log"x:(0,+oo) to RR$,
che si comportano con l'interessante caratteristica d'essere infiniti "lenti ma inesorabili",
d'ordine cioè inferiore a qualunque numero positivo).
Saluti dal web.
solo che,come proprio il controesempio da te individuato dimostra,ciò non comporta che,
ammesso e non concesso esista,il $lim_(x to +oo)[f(x)-Lx]$ sia un numero reale
(fondamentalmente perché,a fartela breve,c'è una classe di funzioni,quale ad esempio la $f(x)="log"x:(0,+oo) to RR$,
che si comportano con l'interessante caratteristica d'essere infiniti "lenti ma inesorabili",
d'ordine cioè inferiore a qualunque numero positivo).
Saluti dal web.
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