Limite del reciproco di una successione
Salve, avrei bisogno di aiuto nella compresione di questa proposizione:
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali tale che:
$\forall n \in N, a_n!=0$
$\exists lim a_n=a \in R , a!=0$
allora
$\exists lim 1/a_n = 1/a$
La dimostrazione procede così:
Valutiamo $1/a_n -1/a = (a-a_n)/(a_n*a) = 1/(a*a_n) *(a-a_n)$
Poiché esiste il limite di $a_n$ ed è in R allora $(a_n-a)_(n\in N)$ è infinitesima
Inoltre poiché esiste il limite di a_n si ha che $(1/a_n)_(n \in N)$ è limitata.
Questa è la prima cosa che non ho capito. Come deduce che $1/a_n$ è limitata? Come si dimostra che se a_n è convergente quindi limitata allora il suo reciproco è una successione limitata?
Continua:
Poiché esiste il limite di a_n allora $\exists lim |a_n| = |a|$ . Scelto $\epsilon = |a|/2, \exists \nu \in N t.c. \forall n \in N, n>=\nu : |a|-\epsilon<|a_n|<|a|+\epsilon$ da cui $ |a|/2<|a_n|<3/2 |a|$
Segue che $\forall n \in N, n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$.
Segue allora che $(1/a_n - 1/a)_(n \in N)$
Non capisco cosa ha fatto. Cioè dire che $\forall n \in , n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$ significa che $|1/a_n|$ è limitata ? E quindi?
Quello che mi chiedo è, poiché so che il prodotto tra una successione limitata e una infinitesima mi da una successione infinitesima, non mi basterebbe dire questo?. Cioè perché tutta questa dimostrazione?
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
Cordialmente
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali tale che:
$\forall n \in N, a_n!=0$
$\exists lim a_n=a \in R , a!=0$
allora
$\exists lim 1/a_n = 1/a$
La dimostrazione procede così:
Valutiamo $1/a_n -1/a = (a-a_n)/(a_n*a) = 1/(a*a_n) *(a-a_n)$
Poiché esiste il limite di $a_n$ ed è in R allora $(a_n-a)_(n\in N)$ è infinitesima
Inoltre poiché esiste il limite di a_n si ha che $(1/a_n)_(n \in N)$ è limitata.
Questa è la prima cosa che non ho capito. Come deduce che $1/a_n$ è limitata? Come si dimostra che se a_n è convergente quindi limitata allora il suo reciproco è una successione limitata?
Continua:
Poiché esiste il limite di a_n allora $\exists lim |a_n| = |a|$ . Scelto $\epsilon = |a|/2, \exists \nu \in N t.c. \forall n \in N, n>=\nu : |a|-\epsilon<|a_n|<|a|+\epsilon$ da cui $ |a|/2<|a_n|<3/2 |a|$
Segue che $\forall n \in N, n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$.
Segue allora che $(1/a_n - 1/a)_(n \in N)$
Non capisco cosa ha fatto. Cioè dire che $\forall n \in , n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$ significa che $|1/a_n|$ è limitata ? E quindi?
Quello che mi chiedo è, poiché so che il prodotto tra una successione limitata e una infinitesima mi da una successione infinitesima, non mi basterebbe dire questo?. Cioè perché tutta questa dimostrazione?
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
Cordialmente
Risposte
"paolo1712":
Salve, avrei bisogno di aiuto nella compresione di questa proposizione:
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali tale che:
$\forall n \in N, a_n!=0$
$\exists lim a_n=a \in R , a!=0$
allora
$\exists lim 1/a_n = 1/a$
La dimostrazione procede così:
Valutiamo $1/a_n -1/a = (a-a_n)/(a_n*a) = 1/(a*a_n) *(a-a_n)$
Poiché esiste il limite di $a_n$ ed è in R allora $(a_n-a)_(n\in N)$ è infinitesima
Inoltre poiché esiste il limite di a_n si ha che $(1/a_n)_(n \in N)$ è limitata.
Questa è la prima cosa che non ho capito. Come deduce che $1/a_n$ è limitata? Come si dimostra che se a_n è convergente quindi limitata allora il suo reciproco è una successione limitata?
Infatti non è vero.
$1/n$ è limitata ma il suo reciproco non lo è.
Qui conta che $a_n\to a$ e $a\ne 0$. Infatti metti che $a>0$, allora definitivamente $a_n\le a/2$, da cui definitivamente $0<1/a_n/le 2/a$.
MI ACCORGO leggendo avanti che quanto ho detto è proprio ciò che è dimostrato dopo.
Continua:
Poiché esiste il limite di a_n allora $\exists lim |a_n| = |a|$ . Scelto $\epsilon = |a|/2, \exists \nu \in N t.c. \forall n \in N, n>=\nu : |a|-\epsilon<|a_n|<|a|+\epsilon$ da cui $ |a|/2<|a_n|<3/2 |a|$
Segue che $\forall n \in N, n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$.
Segue allora che $(1/a_n - 1/a)_(n \in N)$
Non capisco cosa ha fatto. Cioè dire che $\forall n \in , n>=\nu$ si ha che $ 1/|a_n| < 2/|a| = k>0$ significa che $|1/a_n|$ è limitata ? E quindi?
Quello che mi chiedo è, poiché so che il prodotto tra una successione limitata e una infinitesima mi da una successione infinitesima, non mi basterebbe dire questo?. Cioè perché tutta questa dimostrazione?
Mi pare proprio che tu abbia ragione. Una volta che $1/a_n$ è limitata ti ritrovi con il prodotto tra una successione infinitesima e una limitata e concludi facilmente.
Dunque il punto chiave è dimostrare che la successione dei reciproci è limitata (nell'ipotesi che la successione originale abbia limite diverso da zero).
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
Cordialmente
Ci sono dei piccoli errori di stampa, ma mi pare proprio che nella seconda parte stia mostrando che $1/a_n$ è limitata per poi usare questo fatto e concludere come hai detto nella prima parte (prodotto tra infinitesima e limitata è infinitesima). In altre parole la struttura della dimostrazione è "poiché $1/a_n-1/a =1/(a * a_n) (a-a_n)$ e $a-a_n$ è infinitesima, per concludere basta mostrare che $1/a_n$ è limitata", e procede mostrando appunto che $1/a_n$ è limitata.
Eh caspita ero davvero confuso. E' scritta un po' con i piedi però effettivamente dovevo solo riordinare i fatti.
Vi ringrazio per il vostro tempo, ora mi è tutto più chiaro
Vi ringrazio per il vostro tempo, ora mi è tutto più chiaro
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