Limite del rapporto incrementale e limite delle derivate
Salve! Vorrei sapere quando usare, per trovare i punti di non derivabilità, il limite del rapporto incrementale e quando i limiti delle derivate destro e sinistro. So che esiste un teorema che collega limite del rapporto incrementale al limite delle derivate da cui emergono le condizioni che devono sussistere per fare il limite delle derivate. Qual è? Potreste esplicarlo in questa discussione?
A proposito, vorrei anche degli indizi per risolvere il limite del rapporto incrementale della funzione $root(3)(x+1)/root(3)(x^2+4)$ dove $x_0$=$1^+-$. Quindi: $\lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
A proposito, vorrei anche degli indizi per risolvere il limite del rapporto incrementale della funzione $root(3)(x+1)/root(3)(x^2+4)$ dove $x_0$=$1^+-$. Quindi: $\lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Risposte
"sequence95":
Salve! Vorrei sapere quando usare, per trovare i punti di non derivabilità, il limite del rapporto incrementale e quando i limiti delle derivate destro e sinistro. So che esiste un teorema che collega limite del rapporto incrementale al limite delle derivate da cui emergono le condizioni che devono sussistere per fare il limite delle derivate. Qual è? Potreste esplicarlo in questa discussione?
Il tuo libro di testo che dice in proposito?
"sequence95":
A proposito, vorrei anche degli indizi per risolvere il limite del rapporto incrementale della funzione $root(3)(x+1)/root(3)(x^2+4)$ dove $x_0$=$1^+-$. Quindi: $\lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Beh... 1° indizio: scrivi il rapporto incrementale.
2° indizio: fai i calcoli.
Sul "Bramanti, Pagani, Salsa" non ho letto di questo teorema. Da quello che ho letto nelle discussioni su questo forum e altri potrebbe essere il teorema di Darboux, giusto?
Comunque sul limite cerco di trovare la giusta strada, faccio i calcoli e se continuano ad esserci problemi riscrivo.
Comunque sul limite cerco di trovare la giusta strada, faccio i calcoli e se continuano ad esserci problemi riscrivo.
Ciao sequence95,
Per quanto riguarda il limite proposto i calcoli sono abbastanza noiosi, ma sostanzialmente si tratta solo di de-razionalizzare sfruttando la ben nota relazione $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ ove nel caso in esame $a := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $ e $b := root(3){2/5} $, infatti posto $f(x) := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $, si ha:
$ \lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = \lim_{x \to 1}(root(3){(x+1)/(x^2+4)} - root(3){2/5} )/(x - 1) = $
$ = \lim_{x \to 1}((x+1)/(x^2+4) - 2/5)/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((-(x-1)(2x - 3))/(5(x^2+4)))/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((3 - 2x)/(5(x^2+4)))/(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2}) = $
$ = (1/25)/(root(3){4/25} + root(3){2/5}root(3){2/5} + root(3){4/25}) = (1/25)/(3 root(3){4/25}) = 1/(75 root(3){4/25}) = $
$ = 1/(15 root(3){20}) $
Per quanto riguarda il limite proposto i calcoli sono abbastanza noiosi, ma sostanzialmente si tratta solo di de-razionalizzare sfruttando la ben nota relazione $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ ove nel caso in esame $a := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $ e $b := root(3){2/5} $, infatti posto $f(x) := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $, si ha:
$ \lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = \lim_{x \to 1}(root(3){(x+1)/(x^2+4)} - root(3){2/5} )/(x - 1) = $
$ = \lim_{x \to 1}((x+1)/(x^2+4) - 2/5)/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((-(x-1)(2x - 3))/(5(x^2+4)))/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((3 - 2x)/(5(x^2+4)))/(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2}) = $
$ = (1/25)/(root(3){4/25} + root(3){2/5}root(3){2/5} + root(3){4/25}) = (1/25)/(3 root(3){4/25}) = 1/(75 root(3){4/25}) = $
$ = 1/(15 root(3){20}) $
C'è stato un errore: $x_0=-1^+-$, quindi il limite sarà: $lim_(X->-1^+-)root(3)((x+1)/(x^2+4))/(x+1)$, che riscrivo come $lim_(X->-1^+-)root(3)((x+1)/(x^2+4))(1)/(x+1)$, quindi semplifico numeratore del primo termine e denominatore del secondo termine del prodotto riscrivendo il limite come $lim_(X->-1^+-) (x+1)^(1/3)/root(3)(x^2+4)(1)/(x+1)$ e sfruttando la propietà delle potenze per cui $a^m/a^n$ = $a^(m-n)$. Risulta: $lim_(X->-1^+-)1/root(3)((x^2+4)(x+1)^2)$ = $+oo$. Giusto?
Pilloeffe, quello che hai risolto tu (con l'errore) mi potrebbe essere comunque utile ma non mi è chiaro perché abbia scritto $a^2 +ab +b^2$ al denominatore e nel passaggio finale perché $1/(75root(3)(4/25))$ faccia $1/(15root(3)(20))$ (mi sfugge qualcosa sulle operazioni fra radicali)
[xdom="gugo82"]@ pilloeffe: La prossima volta che proponi lo svolgimento completo di un esercizio in questo modo, prendiamo provvedimenti.
L'ho detto altrove, lo ripeto qui: in generale, e soprattutto in questo periodo di didattica a distanza, non è corretto che alla prima richiesta vengano spiattellate soluzioni.[/xdom]
L'ho detto altrove, lo ripeto qui: in generale, e soprattutto in questo periodo di didattica a distanza, non è corretto che alla prima richiesta vengano spiattellate soluzioni.[/xdom]
"sequence95":
Giusto?
No. O meglio, il risultato è corretto, ma il limite l'hai scritto malissimo.
Scriverei così:
$ \lim_{x \to -1^+-} root(3)((x+1)/(x^2+4))/(x+1) = +\infty $
"sequence95":
non mi è chiaro perché abbia scritto $a^2+ab+b^2 $ al denominatore
Beh, perché
"pilloeffe":
sfruttando la ben nota relazione $a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)$ ove nel caso in esame $a := root[3]{(x + 1)/(x^2 + 4)}$ e $b := root[3]{2/5} $
Quindi ovviamente $a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) $
"sequence95":
nel passaggio finale perché $ 1/(75root(3)(4/25)) $ faccia $ 1/(15root(3)(20)) $ (mi sfugge qualcosa sulle operazioni fra radicali)
Sì, ti sfugge qualcosa e sono calcoli elementari:
$ 1/(75root(3)(4/25)) = 1/(15 \cdot 5 root(3)(4/25)) = 1/(15 root(3)(4/25 \cdot 125)) = 1/(15 root(3)(4 \cdot 5)) = 1/(15root(3)(20)) $
@ pilloeffe, ho svolto l'esercizio con l'errore e adesso mi torna. Non mi è chiaro, riguardo al limite del rapporto incrementale corretto, perché non possa riscrivere $root(3)(a/b)/a$ come $root(3)(a/b)1/a$ e procedere a semplificare $root(3)(a)$ con $a$ riscrivendo $root(3)(a)$ come $a^(1/3)$ e sfruttando la proprietà delle potenze, quindi sottraendo gli indici trattandosi di un rapporto. Risulterebbe $1/root(3)(ba^2)$ e si elimini la forma indeterminata $0/0$.
Guarda che non ti ho scritto che hai sbagliato a fare le semplificazioni, anzi ti ho scritto esplicitamente che il risultato è corretto. Ma guarda come hai scritto il limite:
Cosa c'è che non è corretto nel modo in cui hai scritto quest'ultimo limite ed anche tutti i precedenti dello stesso post per la verità?
"sequence95":
$ \lim_(X_0->-1^+-)1/root(3)((x^2+4)(x+1)^2) $
Cosa c'è che non è corretto nel modo in cui hai scritto quest'ultimo limite ed anche tutti i precedenti dello stesso post per la verità?
Ho corretto l'errore che penso ci sia nel post che hai citato e ho aggiunto qualcosa, giusto per ripassare (ahahah). Perdonami ma mi sarò distratto.
Stavo rileggendo il thread e anche questo tuo post e mi è venuto il sospetto che tu in realtà debba studiare la funzione seguente:
$f(x) = root(3){(x+1)/(x^2+4)} $
Dato che il dominio di tale funzione è $D = \RR $, in realtà nessuno dei limiti che hai proposto ti serve, è sufficiente osservare che si ha
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = 0 $
e che pertanto $y = 0 $ (l'asse $x$) è l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione proposta, che è intersecato dalla funzione $f(x)$ nel punto $A(-1,0) $
Studiando poi il segno della derivata prima $f'(x) $ dovresti riuscire a scoprire che la funzione ha un massimo nel punto $M(sqrt5 - 1, 1/2 root[3]{sqrt5 + 1}) $ ed un minimo nel punto $L(- sqrt5 - 1, - 1/2 root[3]{sqrt5 - 1}) $
$f(x) = root(3){(x+1)/(x^2+4)} $
Dato che il dominio di tale funzione è $D = \RR $, in realtà nessuno dei limiti che hai proposto ti serve, è sufficiente osservare che si ha
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = 0 $
e che pertanto $y = 0 $ (l'asse $x$) è l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione proposta, che è intersecato dalla funzione $f(x)$ nel punto $A(-1,0) $
Studiando poi il segno della derivata prima $f'(x) $ dovresti riuscire a scoprire che la funzione ha un massimo nel punto $M(sqrt5 - 1, 1/2 root[3]{sqrt5 + 1}) $ ed un minimo nel punto $L(- sqrt5 - 1, - 1/2 root[3]{sqrt5 - 1}) $
@ pilloeffe, è corretto ma la mia domanda era riguardo al limite del rapporto incrementale e limite delle derivate; in questo caso il limite della derivata è uguale al limite del rapporto incrementale. Le mie domande sono: quando limite della derivata e limite del rapporto incrementale sono uguali? C'è un teorema che legittima l'uso del limite della derivata al posto del limite del rapporto incrementale?
"sequence95":
Sul "Bramanti, Pagani, Salsa" non ho letto di questo teorema.
Par. 4.5, Teorema 4.9 a pag. 191… E guarda un po’ che caso: il paragrafo si intitola “Limite della derivata e derivabilità”. Chi l’avrebbe mai detto che contiene il teorema che ti interessa?!?
Va bene che il BPS non è un testo che incontra i miei gusti, ma il problema in questo caso non è la bruttezza.
Per studiare, un libro, bello o brutto che sia, va aperto e letto.
Prego.
Mi scuso. Grazie, comunque, per avermi indicato paragrafo e pagina.
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