Limite del rapporto incrementale

[Fal3na]

Ciao a tutti
Ho un limite del rapporto incrementale che non riesco a svolgere, sicuramente è banale ma le mie conoscenze sono abbastanza scarse >< e per questo chiedo a voi!

Si consideri la funzione $ f(x )= ln ( x + 1 ) $
Calcolare la derivata nel punto $ x0 = e $ tramite la definizione, cioè tramite il limite del rapporto incrementale, spiegando i passaggi.

Grazie ^^

[mateforever.tanzini]

Ciao maryshiva!
Immagino tu sia arrivata/o a scrivere il rapporto $ (ln(1+h/(x+1)))/h$

[Sk_Anonymous]

Devi ricordare alcune proprietà dei logaritmi ed un limite notevole ( che è poi conseguenza di un altro limite pure notevole).
Il limite in questione è :
A) $lim_{h->0*}(1+ah)^{1/h}=e^a$
Applicando la definizione di derivata, nel tuo caso si ha:
$[f'(x)]_{x=e}=lim_{h->0}(ln(1+e+h)-ln(1+e))/h$
Ovvero :
$[f'(x)]_{x=e}=lim_{h->0}ln((1+e+h)/(1+e))^{1/h}$
Oppure:
$[f'(x)]_{x=e}=ln( lim_{h->0}(1+1/{1+e}h)^{1/h})$
E confrontando con la (A) hai :
$(f'(x))_{x=e}=ln(e^{1/{1+e}})=1/{1+e}$
Q.E.D.

[mateforever.tanzini]

Ti posto il link di un problema similissimo al tuo https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 004AAMTZoG

[Fal3na]

"ciromario":Devi ricordare alcune proprietà dei logaritmi ed un limite notevole ( che è poi conseguenza di un altro limite pure notevole).
Il limite in questione è :
A) $lim_{h->0*}(1+ah)^{1/h}=e^a$
Applicando la definizione di derivata, nel tuo caso si ha:
$[f'(x)]_{x=e}=lim_{h->0}(ln(1+e+h)-ln(1+e))/h$
Ovvero :
$[f'(x)]_{x=e}=lim_{h->0}ln((1+e+h)/(1+e))^{1/h}$
Oppure:
$[f'(x)]_{x=e}=ln( lim_{h->0}(1+1/{1+e}h)^{1/h})$
E confrontando con la (A) hai :
$(f'(x))_{x=e}=ln(e^{1/{1+e}})=1/{1+e}$
Q.E.D.

Scusami, fino al secondo passaggio ci sono ma poi come hai fatto ad arrivare qui: $[f'(x)]_{x=e}=ln( lim_{h->0}(1+1/{1+e}h)^{1/h})$ ???