Limite del prodotto di successioni
Ciao, tra gli esercizi proposti del Prof. Canuto c'è la seguente richiesta: "Dire se esistono (ed eventualmente calcolare) i seguenti limiti:"
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3(1+\sin x)}
\]
C'è la soluzione a pag.6. Occorre prendere due successioni $x_n$ e $y_n$ che tendono allo stesso limite $+\infty$ ma che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendano a due limiti diversi: il professore usa $x_n=2n\pi$ e $y_n=\frac{3}{2}\pi+2n\pi$ per cui $f(x_n)\rightarrow +\infty$ e $f(y_n)\rightarrow 0$. Perché la seconda funzione tende a 0? Sostituendo, ottengo il prodotto di successioni
\[
f(y_n)=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)^3[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
il secondo fattore è zero, ma il primo fattore tende a $+\infty$, quindi perché il prodotto tende a zero? Conosco il Teorema del prodotto di successione limitata per successione infinitesima che garantisce che il limite è zero, ma qui non posso applicarlo.
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3(1+\sin x)}
\]
C'è la soluzione a pag.6. Occorre prendere due successioni $x_n$ e $y_n$ che tendono allo stesso limite $+\infty$ ma che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendano a due limiti diversi: il professore usa $x_n=2n\pi$ e $y_n=\frac{3}{2}\pi+2n\pi$ per cui $f(x_n)\rightarrow +\infty$ e $f(y_n)\rightarrow 0$. Perché la seconda funzione tende a 0? Sostituendo, ottengo il prodotto di successioni
\[
f(y_n)=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)^3[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
il secondo fattore è zero, ma il primo fattore tende a $+\infty$, quindi perché il prodotto tende a zero? Conosco il Teorema del prodotto di successione limitata per successione infinitesima che garantisce che il limite è zero, ma qui non posso applicarlo.
Risposte
Calcola $f(y_n)$ e renditi conto.
Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]
non è una forma indeterminata?
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]
non è una forma indeterminata?
"tetravalenza":
Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]
non è una forma indeterminata?
Forse ho capito. Prima di far tendere $y_n$ a $+\infty$ posso effettuare il prodotto e quindi $f(y_n)\rightarrow 0$.
OK grazie.
Alcune correzioni:
Forse ho capito. Prima di far tendere $y_n$ a $+\infty$ devo effettuare il prodotto e quindi $f(y_n) = 0$ per ogni $n in NN$.[/quote]
Il problema vero, tetravalenza, è che usi "forma indeterminata" in maniera impropria.
Che cos'è una forma indeterminata?
"tetravalenza":
[quote="tetravalenza"]Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]
non è una forma indeterminata?
Forse ho capito. Prima di far tendere $y_n$ a $+\infty$ devo effettuare il prodotto e quindi $f(y_n) = 0$ per ogni $n in NN$.[/quote]
Il problema vero, tetravalenza, è che usi "forma indeterminata" in maniera impropria.
Che cos'è una forma indeterminata?
"gugo82":
Il problema vero, tetravalenza, è che usi "forma indeterminata" in maniera impropria.
Che cos'è una forma indeterminata?
Una forma che si presenta quando non è possibile calcolare con l'algebra dei limiti: somme, differenze, prodotti, quozienti, ecc. di di funzioni, per esempio la forma $\infty-\infty$, mentre con l'algebra dei limiti posso calcolare il limite dalla somma di funzioni che tendono a $+\infty$, è $+\infty$.
Appunto.
Ed allora mi spieghi perché dovresti considerare una successione identicamente nulla come "forma indeterminata"?
Ed allora mi spieghi perché dovresti considerare una successione identicamente nulla come "forma indeterminata"?
"gugo82":
Appunto.
Ed allora mi spieghi perché dovresti considerare una successione identicamente nulla come "forma indeterminata"?
Se devo calcolare il limite di
\[
a_n=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
prima di oggi avrei detto che è una forma indeterminata $+\infty\cdot 0$, avrei ignorato il fatto che il termine nullo semplifica l'espressione prima del calcolo del limite. Avrei scritto
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}{(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)}\cdot\lim_{n\rightarrow +\infty}{[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]}= ...
\]
OK grazie per il chiarimento.
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