Limite de l'hopital

[Claudia141]

Ciao, mi potreste indicare la strada corretta per risolvere questo limite:
$lim_(x->-1)([(root(3)x)+1]/(x+1))$
Che dovrebbe uscire $infty$
Però se proseguo con de l'hopital facendo la derivata del numeratore e denominatore separate mi escè $1/3$
Se faccio la derivata del rapporto mi escè $infty$ come mai????

[donald_zeka]

Non si usa mai de l'hopital...basta ricordarsi alcuni prodotti notevoli:

$t^3+1=0$ ammette come soluzione $t=-1$, pertanto per il teorema di Ruffini è divisibile per $t+1$, quindi:

$t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)$

Stessa cosa per $t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$

[Claudia141]

Quindi procedo sostituendo al numeratore $(t-1)(t^2+t+1) $ e calcolo normalmente il limite sostituendo $-1$ ?

[donald_zeka]

No, sostituisci $t^3=x$ e procedi facendo il limite per t che tende a $-1$

[francicko]

Se poni $x=t^3$ come giustamente indicato da @Vulplasir,
si ha $root(3)(t^3)=t$ ed il limite diventa $lim_(t->-1)(t+1)/(t^3+1 )$ $=lim_(t->-1)(t+1)/((t+1)(t^2-t+1)) $ elidendo il fattore di indeterminazione ed eseguendo i calcoli ottieni $1/3$ come risultato del limite in accordo ovviamente con Hopital, non capisco Perché dovrebbe darti $infty $