Limite da tema d'esame
Ciao a tutti!
Ho un altro esercizio che mi sta lambiccando il cervello.
1) Devo verificare che f(x) e’ prolungabile per continuità in x = 0 dalla destra;
2) dimostrare che f e’ uniformemente continua in [0,$oo$]
E niente, già mi blocco al primo punto:
1)
$\lim_{x \to \0+} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2))$
Sono sicuro che è una cavolata. Ma non riesco ad arrivarci e ci sto perdendo un sacco di tempo
Ho un altro esercizio che mi sta lambiccando il cervello.
1) Devo verificare che f(x) e’ prolungabile per continuità in x = 0 dalla destra;
2) dimostrare che f e’ uniformemente continua in [0,$oo$]
E niente, già mi blocco al primo punto:
1)
$\lim_{x \to \0+} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2))$
Sono sicuro che è una cavolata. Ma non riesco ad arrivarci e ci sto perdendo un sacco di tempo
Risposte
Per 1) ricordati che \(\lim_{x\to 0} x^\alpha \log(x^{-\beta})=0\) per ogni \(\alpha, \beta>0\). Per 2), sostanzialmente devi adattare la dimostrazione che \(\sqrt{x}\) è uniformemente continua, visto che quel logaritmo ha un impatto molto limitato sulla funzione.
"dissonance":
Per 1) ricordati che \(\lim_{x\to 0} x^\alpha \log(x^{-\beta})=0\) per ogni \(\alpha, \beta>0\). Per 2), sostanzialmente devi adattare la dimostrazione che \(\sqrt{x}\) è uniformemente continua, visto che quel logaritmo ha un impatto molto limitato sulla funzione.
Ho appena ricontrollato nel mio libro di testo consigliato dal professore (o meglio, imposto poichè è il libro scritto da lui), e questo non c'è da nessuna parte nel capitolo dei limiti. Ma in questo caso $beta$ che cosa è? Poichè dentro il $log$ c'è $x^(3/2)$ e $x^(-1/2)$.
Per 2) verifico che $sqrt(x)$ sia uniformemente continua, uso il teorema di Heine-Cantor: Prendo l'intervallo $[0, 1]$, applico il teorema del prolungamento continuo, cioè faccio \(\lim_{x\to 0} \sqrt{x} = 0\) e \(\lim_{x\to 1} \sqrt{x} = 1\). Essendo entrambi finiti, $sqrt(x)$ è uniformemente continua in $[0, 1]$.
Mi resta l'intervallo $[1, +oo)$: uso il teorema della derivata prima e quindi faccio il \(\lim_{x\to 1} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2}\)
Essendo finito, allora $sqrt(x)$ è uniformemente continua in $[0, +oo)$. Ma da qui come arrivo a dire che tutta la funzione è uniformemente continua?
1) Quando \(x\to 0\), tra i due termini \(x^{-\frac12}\) e \(x^\frac32\) chi è quello MOLTO più grande, secondo te? L'altro è trascurabile (ma lo devi dimostrare rigorosamente).
2) Se una funzione è uniformemente continua su \([a_1,b_1]\) e su \([a_2, b_2]\), allora è uniformemente continua su \([a_1, b_1]\cup[a_2,b_2]\), e puoi sostituire gli intervalli chiusi con intervalli aperti o semiaperti. Il motivo è semplice: fissato \(\epsilon>0\), la definizione di uniforme continuità ti produce \(\delta_1(\epsilon)\) e \(\delta_2(\epsilon)\): il primo vale sul primo intervallo e l'altro sul secondo intervallo. Prendendo \(\delta=\min(\delta_1, \delta_2)\) ottieni un delta che vale simultaneamente sui due intervalli.
P.S.
Senza apostrofo.
2) Se una funzione è uniformemente continua su \([a_1,b_1]\) e su \([a_2, b_2]\), allora è uniformemente continua su \([a_1, b_1]\cup[a_2,b_2]\), e puoi sostituire gli intervalli chiusi con intervalli aperti o semiaperti. Il motivo è semplice: fissato \(\epsilon>0\), la definizione di uniforme continuità ti produce \(\delta_1(\epsilon)\) e \(\delta_2(\epsilon)\): il primo vale sul primo intervallo e l'altro sul secondo intervallo. Prendendo \(\delta=\min(\delta_1, \delta_2)\) ottieni un delta che vale simultaneamente sui due intervalli.
P.S.
un'altro
Senza apostrofo.
"dissonance":
1) Quando \(x\to 0\), tra i due termini \(x^{-\frac12}\) e \(x^\frac32\) chi è quello MOLTO più grande, secondo te? L'altro è trascurabile (ma lo devi dimostrare rigorosamente).
Comincio a capire. Ma per \(x\to 0\), non dovrei prendere quello più piccolo? In questo caso \(x^{-\frac12}\).
2) Se una funzione è uniformemente continua su \([a_1,b_1]\) e su \([a_2, b_2]\), allora è uniformemente continua su \([a_1, b_1]\cup[a_2,b_2]\), e puoi sostituire gli intervalli chiusi con intervalli aperti o semiaperti. Il motivo è semplice: fissato \(\epsilon>0\), la definizione di uniforme continuità ti produce \(\delta_1(\epsilon)\) e \(\delta_2(\epsilon)\): il primo vale sul primo intervallo e l'altro sul secondo intervallo. Prendendo \(\delta=\min(\delta_1, \delta_2)\) ottieni un delta che vale simultaneamente sui due intervalli.
Si, questo mi era chiaro, forse mi sono espresso male io. Ho dimostrato che $sqrt(x)$ è uniformemente continua perchè uniformemente continua nei due intervalli di cui l'intervallo $[0, +oo]$ è l'unione. Con questo risultato, come faccio a dire che $f(x) = sqrt(x)ln(x^(3/2)+x^(-1/2))$ sia uniformemente continua nel medesimo intervallo?
P.S.
[quote]un'altro
Senza apostrofo.[/quote]
Solo un refuso, ho corretto.
"Tea-Rex":Stai manipolando simboli senza assegnare loro un ordine di grandezza, succede. Prendi una calcolatrice e calcola \(x^{-\frac12}\) e \(x^{\frac32}\) per \(x=1\), \(x=0.1\), \(x=0.01\).
Comincio a capire. Ma per \(x\to 0\), non dovrei prendere quello più piccolo? In questo caso \(x^{-\frac12}\).
Si, questo mi era chiaro, forse mi sono espresso male io. Ho dimostrato che $sqrt(x)$ è uniformemente continua perchè uniformemente continua nei due intervalli di cui l'intervallo $[0, +oo]$ è l'unione. Con questo risultato, come faccio a dire che $f(x) = sqrt(x)ln(x^(3/2)+x^(-1/2))$ sia uniformemente continua nel medesimo intervallo?
Non puoi farlo in modo "soft". Devi sporcarti un po' le mani e rifare la dimostrazione con questa nuova funzione, seguendo la precedente come una linea guida.
Innanzi tutto ti ringrazio per la disponibilità, la gentilezza e le celeri risposte.
Hai assolutamente ragione, questo controllo lo devo rigorosamente fare ogni volta.
Ho provato a fare questo:
Prendo l'intervallo $[0, 1]$, e uso il teorema del prolugamento continuo: $ \lim_{x \to \0} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2)) = 0$ per il punto precedente. Faccio il $ \lim_{x \to \1} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2)) = 1 + ln(2) $, che è un valore finito, quindi la funzione è uniformemente continua nell'intervallo $[0, 1]$.
Prendo l'intervallo $[1, +oo]$ e uso il teorema della derivata limitata: $ \lim_{x \to \0} f'(x) = 1/2 ln(2) +1/2$, di nuovo un valore finito, quindi la funzione è uniformemente continua in $[1, +oo)$. Dato questo, esattamente come prima, posso dire che la funzione $f(x)$ è uniformemente continua in $[0, +oo)$.
Corretto?
"dissonance":
Stai manipolando simboli senza assegnare loro un ordine di grandezza, succede. Prendi una calcolatrice e calcola \(x^{-\frac12}\) e \(x^{\frac32}\) per \(x=1\), \(x=0.1\), \(x=0.01\).
Hai assolutamente ragione, questo controllo lo devo rigorosamente fare ogni volta.
Non puoi farlo in modo "soft". Devi sporcarti un po' le mani e rifare la dimostrazione con questa nuova funzione, seguendo la precedente come una linea guida.
Ho provato a fare questo:
Prendo l'intervallo $[0, 1]$, e uso il teorema del prolugamento continuo: $ \lim_{x \to \0} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2)) = 0$ per il punto precedente. Faccio il $ \lim_{x \to \1} sqrt(x)ln(1/sqrt(x)+x^(3/2)) = 1 + ln(2) $, che è un valore finito, quindi la funzione è uniformemente continua nell'intervallo $[0, 1]$.
Prendo l'intervallo $[1, +oo]$ e uso il teorema della derivata limitata: $ \lim_{x \to \0} f'(x) = 1/2 ln(2) +1/2$, di nuovo un valore finito, quindi la funzione è uniformemente continua in $[1, +oo)$. Dato questo, esattamente come prima, posso dire che la funzione $f(x)$ è uniformemente continua in $[0, +oo)$.
Corretto?
Non serve calcolare il limite a \(x\to 1\), la funzione è ovviamente continua in 1. Quanto al limite della derivata prima, devi calcolarlo per \(x\to +\infty\) (è sufficiente dimostrare che sia finito, in realtà).
"dissonance":
Non serve calcolare il limite a \(x\to 1\), la funzione è ovviamente continua in 1. Quanto al limite della derivata prima, devi calcolarlo per \(x\to +\infty\) (è sufficiente dimostrare che sia finito, in realtà).
Ovviamente il limite per il teorema della derivata limitata, lo intendevo $x \to \1$ e non $ x \to \0$.
E ovviamente ho dimenticato la parte $lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$.
Quindi sono giunto alla conclusione dimostrando che f(x) è uniformemente continua.
Ti ringrazio tantissimo per il tuo aiuto.
E anche qui, il limite di $f'(x)$ per $x\to 1$ potevi risparmiartelo, visto che ovviamente \(f'\) è continua su \((0, \infty)\). Comunque, ben fatto, questo esercizio era istruttivo e non facilissimo
"dissonance":
E anche qui, il limite di $f'(x)$ per $x\to 1$ potevi risparmiartelo, visto che ovviamente \(f'\) è continua su \((0, \infty)\). Comunque, ben fatto, questo esercizio era istruttivo e non facilissimo
Senza il tuo aiuto mi sarei perso!
L'importante è che io abbia capito per poterli fare poi autonomamente.
Mi sarei persoEppure avevi tutti gli strumenti per arrivarci, e infatti ci sei arrivato, io ho dato solo degli spunti. Gli strumenti sono due: il limite notevole del logaritmo in \(0\) e la dimostrazione della continuità uniforme di \(\sqrt x\). Sono entrambe cose che - vedo - hai ampiamente capito.
Quello che ti è mancato è stato solo il coraggio di provare. In realtà questa è una cosa che sto dicendo a te, ma che dico soprattutto a me stesso e a tutti: uno deve provare, senza pigrizia e senza paura di sbagliare.
Ad esempio, qui. Ti trovi davanti al limite \(\lim_{\x \to 0}\sqrt{x}\log(x^{-\frac12}+x^\frac32),\) non ti viene in mente niente e ti blocchi. Perché ti blocchi? Fai un po' di esperimenti, anche degli imbrogli, prendi la calcolatrice e assegni dei numeri piccoli alla \(x\), così ti fai una idea dell'ordine di grandezza delle cose. Capisci che il limite fa \(0\), allora prendi il libro, consulti i limiti notevoli, trovi quello del logaritmo, pure quello vale \(0\), è impossibile che non ti venga in mente che possa essere utile.
A quel punto, hai focalizzato bene la vera difficoltà: non si può applicare il limite notevole del logaritmo perché ci sono due addendi e non uno solo. Ma di nuovo, pasticciando un po', ti accorgi che uno dei due addendi è ridicolmente piccolo in comparazione all'altro. Capisci che questo è un progresso, devi solo trovare il modo formale di sfruttare questa informazione. E alla fine arrivi alla soluzione. Bastava solo buttarcisi e provare e riprovare.
Qui c'è una storia analoga, raccontata da Terence Tao.
Scusate se mi intrometto, ma riscrivendo il limite nella forma
$lim_(x->0^+)[-sqrtx log(sqrt(x))+sqrt(x) log(1+x^2)]=[-0+0]$?
$lim_(x->0^+)[-sqrtx log(sqrt(x))+sqrt(x) log(1+x^2)]=[-0+0]$?
Va bene. Alla fine sempre il limite notevole del logaritmo usi.
È una potenza 'sto logaritmo 
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