Limite da risolvere con Taylor o no?
Ciao, ho da risolvere questo limite:
$lim_(x->oo)(n^3 * e^(1/n) − n * ln(e^(n^2) + 1))/(sin(e^n) + sqrt(1 + n^5) * tan(1/(2sqrt(n)))$
mi viene una forma indeterminata $oo/oo$, quindi impossibile applicare Taylor in questo caso siccome non è una forma $0/0$
Però essendo una strada complicata, non so come ridurre questo limite che appare molto complesso.
Vedendo cosi tante funzioni note, pensavo fosse proprio il caso di Taylor. Non avendo alcuna scelta ho deciso di applicare lo stesso Taylor, però mi sono complicato ancora di più la vita, perchè non si semplifica nulla. Qualcuno potrebbe dirmi che strada potrei intraprendere, magari darmi degli input, poi magari coi calcoli mi arrangio da solo..
$lim_(x->oo)(n^3 * e^(1/n) − n * ln(e^(n^2) + 1))/(sin(e^n) + sqrt(1 + n^5) * tan(1/(2sqrt(n)))$
mi viene una forma indeterminata $oo/oo$, quindi impossibile applicare Taylor in questo caso siccome non è una forma $0/0$
Però essendo una strada complicata, non so come ridurre questo limite che appare molto complesso.
Vedendo cosi tante funzioni note, pensavo fosse proprio il caso di Taylor. Non avendo alcuna scelta ho deciso di applicare lo stesso Taylor, però mi sono complicato ancora di più la vita, perchè non si semplifica nulla. Qualcuno potrebbe dirmi che strada potrei intraprendere, magari darmi degli input, poi magari coi calcoli mi arrangio da solo..
Risposte
Ciao Matte,
Innanzitutto c'è un errore nel limite, perché è $n \to +\infty$.
Poi vedo, vedo... Che risulta $2$. Proverei senza: ad esempio, comincerei col raccogliere $e^{n^2}$ nel logaritmo al numeratore, in modo da ricondursi ad un limite notevole col logaritmo...
Innanzitutto c'è un errore nel limite, perché è $n \to +\infty$.
Poi vedo, vedo... Che risulta $2$. Proverei senza: ad esempio, comincerei col raccogliere $e^{n^2}$ nel logaritmo al numeratore, in modo da ricondursi ad un limite notevole col logaritmo...
Comincia ad individuare gli infiniti di ordine maggiore ed a calcolare l'ordine di infinito di numeratore e denominatore.
"Matte":
impossibile applicare Taylor in questo caso siccome non è una forma 00
cosa c'entra? Taylor lo applichi a funzioni infinitesime non se ce una forma di indecisione.
lavoro separatamente su numeratore e denominatore.
N: $log(e^(n^2)+1)=n^2+log(1+e^(-n^2))$
quindi il tutto diventa: $n^3e^(1/n)-n^3-nlog(1+e^(-n^2))$ possiamo scartare l'ultimo termine che va a zero tanto.
sviluppo adesso l'esponenziale con Taylor e faccio i conti: $n^3(1+1/2+o(1/n))-n^3=n^2+o(n^2) ~ n^2$
D: ciò che conta è $n^(5/2)tan(1/(2sqrtn))$. questo è asintotico a $n^2 /2$
il rapporto di N e D viene perciò 2 che è il valore cercato
EDIT: non avevo visto le risposte
Ringrazio tutti!
@cooper vedendo il tuo procedimento, volevo chiederti se potevi chiarire due dubbi..
1° dubbio) Quando raccogli nel logaritmo $e^(n^2)$, non capisco perchè poi scompare..
2° dubbio) Volevo chiederti come hai fatto nel denominatore a capire che bisognava applicare il criterio asintotico..
@cooper vedendo il tuo procedimento, volevo chiederti se potevi chiarire due dubbi..
1° dubbio) Quando raccogli nel logaritmo $e^(n^2)$, non capisco perchè poi scompare..
2° dubbio) Volevo chiederti come hai fatto nel denominatore a capire che bisognava applicare il criterio asintotico..
"Matte":
1° dubbio) Quando raccogli nel logaritmo en2, non capisco perchè poi scompare..
non scompare propriamente. ho comunque applicato le proprietà dei logaritmi.
$log(e^(n^2)+1)=log[e^(n^2)(1+e^(-n^2))]=$
$ loge^(n^2)+log(1+e^(-n^2))=n^2 loge+log(1+e^(-n^2)) $
$ loge^(n^2)+log(1+e^(-n^2))=n^2 loge+log(1+e^(-n^2)) $
"Matte":
2° dubbio) Volevo chiederti come hai fatto nel denominatore a capire che bisognava applicare il criterio asintotico..
perchè esiste l'argomento della tangente è infinitesimo ed esiste uno sviluppo asintotico che contempla la tangente. si infatti che se $epsilon_n -> 0$ $tan(epsilon_n) ~ epsilon_n$
in questo caso specifico $epsilon_n = 1/(2sqrtn)$
Grazie mille @cooper, ora mi è chiaro tutto!
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