Limite da risolvere

[paxpax92]

$lim_(h->0)(e^(sin(x)+cos(x))-e*(1+x+x^3/6))/(x-sin(x)+x^5-x^7)$

salve a tutti oggi ho provato a risolvere questo limite in particolare utilizzando taylor mi sono trovato abbastanza in difficolta per scrivere $ e^(sin(x)+cos(x))$ quindi ho optato per l'hopital e dopo aver derivato 3 volte mi è venuto $-e$ quando dovrebbe venire $-4e$ qualcuno mi puo dare qualche consiglio su come risolverlo??
Grazie

[DavideGenova1]

Derivando una o due volte ci si ritrova a forme del tipo $0/0$, ma derivando tre volte a me viene
$d^3/(dx^3) (e^(sinx+cosx)-e(1+x+x^3/6))=$
$= e^(sinx+cosx) ((cosx-sinx)^3+3 (sin^2x-cos^2x)+(sinx-cosx))-e->-4e$ per $x->0$
e $d^3/(dx^3) (x-sinx+x^5-x^7)=30x^2(2-7x^2)+cosx->1$ per $x->0$
Quindi $lim_(x->0) (e^(sinx+cosx)-e(1+x+x^3/6))/(x-sinx+x^5-x^7) = -4e$. Direi che la difficoltà sta nella laboriosità delle tre derivazioni...
Ciao!

[paxpax92]

la prossima volta cercherò di stare piu attento comunque ho una domanda se io avessi voluto utilizzare lo sviluppo di taylor come sarebbe stato lo sviluppo dell'esponenziale perchè a me viene una cosa un pò strana...

[ciampax]

Per prima cosa hai

$\sin x+\cos x=1+x-x^2/2-x^3/6+o(x^3)$

da cui

$e^{\sin x+\cos x}=e\cdot e^{x-x^2/2-x^3/6+o(x^3)}=$
$=e\cdot(1+x-x^2/2-x^3/6+o(x^3)+1/2(x-x^2/2-x^3/6+o(x^3))^2+$
$+1/6(x-x^2/2-x^3/6+o(x^3))^3+o((x-x^2/2-x^3/6+o(x^3))^3))=$

$=e\cdot(1+x-x^2/2-x^3/6+o(x^3)+1/2(x^2-x^3+o(x^3))+1/6(x^3+o(x^3))+o(x^3))=$

$=e\cdot(1+x-x^3/2+o(x^3))$