Limite da risolvere
Devo risolvere questo limite, ma mi incespico e non riesco a proseguire:
$lim_{n->+oo} [(3n+1)/(3n+2)]^(n^2)$
Lo trasformo in una '' forma '' più agevole, anche considerando che $1/n = t$
$e ^ (lim_{t->0} {log[(3n+1)/(3n+2)]}/(t^2)$ $->$ $lim_{t->0} {log[(3n+1)/(3n+2)]}/(t^2)$
E qui mi blocco. So che deve venire $-oo$. Avrei bisogno di un input, grazie ragazzi
$lim_{n->+oo} [(3n+1)/(3n+2)]^(n^2)$
Lo trasformo in una '' forma '' più agevole, anche considerando che $1/n = t$
$e ^ (lim_{t->0} {log[(3n+1)/(3n+2)]}/(t^2)$ $->$ $lim_{t->0} {log[(3n+1)/(3n+2)]}/(t^2)$
E qui mi blocco. So che deve venire $-oo$. Avrei bisogno di un input, grazie ragazzi
Risposte
Ma più semplicemente, scrivendo il limitte in forma esponenziale, hai
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n+1}{3n+2}\right)^{n^2}&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln\left(\frac{3n+1}{3n+2}\right)\right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left(\frac{3n+1}{3n+2}-1\right)\right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -\frac{n^2}{3n+2}\right]\\
&\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -\frac{n^2}{3n }\right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -n/3\right]=0;
\end{align}
che il risultato possa essere $-\infty$ è alquanto sospettoso, visto che si tratta di "roba" positiva....
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n+1}{3n+2}\right)^{n^2}&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln\left(\frac{3n+1}{3n+2}\right)\right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left(\frac{3n+1}{3n+2}-1\right)\right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -\frac{n^2}{3n+2}\right]\\
&\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -\frac{n^2}{3n }\right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[ -n/3\right]=0;
\end{align}
che il risultato possa essere $-\infty$ è alquanto sospettoso, visto che si tratta di "roba" positiva....
Noise, non so. Dovrebbe essere $-oo$ il risultato in quanto il limite deve essere infinitesimo ed $e^(-oo)$ fa appunto $0$.
forse c'è qualche errore nel risultato che hai ...
Non lo so, quella è una serie e sto controllando se può convergere (quindi deve essere infinitesima).
Secondo Wolframalpha quel limite tende a $0$ e la serie converge. Perciò chiedevo!
Secondo Wolframalpha quel limite tende a $0$ e la serie converge. Perciò chiedevo!
Ciao a tutti
Il limite a me torna $ 0 $. L'ho calcolato così:
$ lim_(n->infty)[(3n+1)/(3n+2)]^(n^2)=exp(lim_(n->infty)(n^2[ln(3n+1)-ln(3n+2)]))=exp(lim_(n->infty)n^2[ln3n+ln(1+1/(3n))-ln3n-ln(1+1/(2n))])=exp(lim_(n->infty)n[nln(1+1/(3n))-nln(1+1/(2n))])$.
Ora essendo $ lim_(x->0)(ln(1+x))/x=lim_(t->infty)tln(1+1/t)=1 $ se $ t=1/x $, ho che $ lim_(n->infty)nln(1+1/(3n))=1/3 $
e $ lim_(n->infty)nln(1+1/(2n))=1/2 $ quindi $ exp(lim_(n->infty)n[1/3-1/2])=e^(-infty)=0 $.
Spero di non aver fatto passaggi illegali
.
Ciao!
Il limite a me torna $ 0 $. L'ho calcolato così:
$ lim_(n->infty)[(3n+1)/(3n+2)]^(n^2)=exp(lim_(n->infty)(n^2[ln(3n+1)-ln(3n+2)]))=exp(lim_(n->infty)n^2[ln3n+ln(1+1/(3n))-ln3n-ln(1+1/(2n))])=exp(lim_(n->infty)n[nln(1+1/(3n))-nln(1+1/(2n))])$.
Ora essendo $ lim_(x->0)(ln(1+x))/x=lim_(t->infty)tln(1+1/t)=1 $ se $ t=1/x $, ho che $ lim_(n->infty)nln(1+1/(3n))=1/3 $
e $ lim_(n->infty)nln(1+1/(2n))=1/2 $ quindi $ exp(lim_(n->infty)n[1/3-1/2])=e^(-infty)=0 $.
Spero di non aver fatto passaggi illegali
.Ciao!
Credo che il tuo metodo sia giusto (credo eh, aspettiamo altri più bravi per leggere che dicono).
Solo una domanda: perchè fa $-oo$ e non $+oo$ ? Ovviamente mi riferisco all'ultimissimo passaggio
Solo una domanda: perchè fa $-oo$ e non $+oo$ ? Ovviamente mi riferisco all'ultimissimo passaggio
Ciao mr.mazzar
Nell'ultimissimo passaggio mi torna $ -infty $ perchè $ 1/3-1/2 $ è negativo quindi se $ n->infty $ allora il prodotto tende a $ -infty $.
Nell'ultimissimo passaggio mi torna $ -infty $ perchè $ 1/3-1/2 $ è negativo quindi se $ n->infty $ allora il prodotto tende a $ -infty $.
Ah ecco, grazie PP.
PP, solo una cosa..
So che la differenza tra due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo con argomento il rapporto tra i precedenti due argomenti, quindi:
$log[(3n+1)/(3n+2)] = log(3n+1) - log(3n+2)$
Non capisco cos'hai fatto tu
So che la differenza tra due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo con argomento il rapporto tra i precedenti due argomenti, quindi:
$log[(3n+1)/(3n+2)] = log(3n+1) - log(3n+2)$
Non capisco cos'hai fatto tu
Ciao mr mazzar
scusa ma non capisco dove
scusa ma non capisco dove
Da quel che vedo, nella seconda riga hai sommato e sottratto per $log3$. Ecco, non capisco perchè di questa cosa! Qual è l'idea che c'è alle spalle.
Io avrei fatto cosi:
$lim((3n+1+1)/((3n+2)$ $-1/(3n+2))^(3n+2))^((n^2)/(3n+2))=(1/(e^infty))=0$,
semplicemente mi sono riportato alla forma $((1-1/(3n+2))^(3n+2)=1/e$, e penso sia giusto, qualcuno può confermare?
$lim((3n+1+1)/((3n+2)$ $-1/(3n+2))^(3n+2))^((n^2)/(3n+2))=(1/(e^infty))=0$,
semplicemente mi sono riportato alla forma $((1-1/(3n+2))^(3n+2)=1/e$, e penso sia giusto, qualcuno può confermare?
Ah ok ho capito cosa intendi
No, in quel punto ho fatto in questo modo: nel passaggio prima ho raccolto $ 3n $ nel logaritmo e quindi mi viene il prodotto di due argomenti che è il logaritmo della somma. Poi da una parte ho un $ + $ e dall'altra ho un $ - $.
No, in quel punto ho fatto in questo modo: nel passaggio prima ho raccolto $ 3n $ nel logaritmo e quindi mi viene il prodotto di due argomenti che è il logaritmo della somma. Poi da una parte ho un $ + $ e dall'altra ho un $ - $.
@francicko
Si mi sembra tutto giusto. Ottima soluzione
Si mi sembra tutto giusto. Ottima soluzione
"Peter Pan":
Ciao a tutti
Il limite a me torna $ 0 $. L'ho calcolato così:
$ lim_(n->infty)[(3n+1)/(3n+2)]^(n^2)=exp(lim_(n->infty)(n^2[ln(3n+1)-ln(3n+2)]))=exp(lim_(n->infty)n^2[ln3n+ln(1+1/(3n))-ln3n-ln(1+1/(2n))])$
Eh ma una cosa: a dx quando metti in evidenza $3n$, perchè poi hai $1/2n$ ? Non dovrebbe essere $2/3n$ ?
Comunque sì, viene anche a me come hai fatto tu solo con $2/3$ e non $1/2$. Ma la sostanza non cambia, grande PP!
Ah giusto! Bhè hai fatto bene a controllare. Meno male che non cambia il risultato. Grazie
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