Limite da "dimostrare"
Ecco il quesito, preso da una maturità anni 80 in sessione suppletiva, che non mi "piace":
"Dimostra che $lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/(cosx-1) = 2$.
Ho pensato di utilizzare il principio di sostituzione degli infinitesimi, visto che siamo in un'indeterminata $0/0$ ; sostituisco $ln(1+x)$ con $x$ e, al massimo. $cosx-1$ con $-x^2/2$ , ma comunque non mi torna il procedimento poi per arrivare alla soluzione.
Poi il "dimostra" vuol dire che al $2$ devo arrivarci, o devo darlo per assunto e "verificare" il limite?
Mi spiegate il procedimento?
Grazie anticipatamente.
"Dimostra che $lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/(cosx-1) = 2$.
Ho pensato di utilizzare il principio di sostituzione degli infinitesimi, visto che siamo in un'indeterminata $0/0$ ; sostituisco $ln(1+x)$ con $x$ e, al massimo. $cosx-1$ con $-x^2/2$ , ma comunque non mi torna il procedimento poi per arrivare alla soluzione.
Poi il "dimostra" vuol dire che al $2$ devo arrivarci, o devo darlo per assunto e "verificare" il limite?
Mi spiegate il procedimento?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao.
Secondo me, visto che è un quesito da maturità, chiede di calcolare il limite mostrando che vale 2 (e non verificarlo).
Se conosci lo sviluppo di Taylor dovrebbe essere semplice calcolarlo.
In ogni caso, ti do un'idea che va bene proprio per un compito di maturità.
A numeratore, applica la proprietà della somma di logaritmi e svolgi il prodotto notevole. Quindi, se già le conosci, puoi applicare le equivalenze locali oppure puoi ricondurti a due limiti notevoli moltiplicando e dividendo per un opportuno termine.
Hai capito l'idea? Se hai dubbi mi raccomando posta, siamo qui.
Secondo me, visto che è un quesito da maturità, chiede di calcolare il limite mostrando che vale 2 (e non verificarlo).
Se conosci lo sviluppo di Taylor dovrebbe essere semplice calcolarlo.
In ogni caso, ti do un'idea che va bene proprio per un compito di maturità.
A numeratore, applica la proprietà della somma di logaritmi e svolgi il prodotto notevole. Quindi, se già le conosci, puoi applicare le equivalenze locali oppure puoi ricondurti a due limiti notevoli moltiplicando e dividendo per un opportuno termine.
Hai capito l'idea? Se hai dubbi mi raccomando posta, siamo qui.
Non ho idea di cosa sia lo sviluppo di Taylor, ma ho capito la tua idea... la metto in pratica e vedo se mi si trova 
Però non riesco a capire a cosa sarebbe equivalente$ln(1-x^2)$ ...
"TR0COMI":
Però non riesco a capire a cosa sarebbe equivalente$ln(1-x^2)$ ...
Be' lo puoi vedere come $ln(1+(-x^2))$ per $x to 0$.
Se proprio vuoi essere fine
prova a sostituire $z=-x^2$ in $ln(1-x^2)$ e vedi che cosa esce... Oppure dividi e moltiplica tutto per ....
No non preoccuparti perchè complicarmi la vita? Va benissimo la tua prima "opzione"... si trova dunque! Grazie e alla prossima!
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