Limite da impazzire!
Salve avrei un grosso problema con il limite sotto, sto impazzendo,grazie mille a chi vorrà aiutarmi!
$lim_(x \to \- infty)(log_2(1+3^x))^3/log_8(1+27^x*arctgx)$
Il risultato giusto dovrebbe essere:
$-6/(pi*(log2)^2)$
Grazie ancora a tutti...ps. è stato già difficile scrivere la formula
$lim_(x \to \- infty)(log_2(1+3^x))^3/log_8(1+27^x*arctgx)$
Il risultato giusto dovrebbe essere:
$-6/(pi*(log2)^2)$
Grazie ancora a tutti...ps. è stato già difficile scrivere la formula
Risposte
scusami ma a me non viene, quel numero che hai scritto!
a me viene $-2/pi$
poiché allora ti dico.. siccome $ x\to -\infty $
a NUMERATORE hai che $ (log_2(1+3^x))^3 $ \( \sim (3^x)^3 \)
mentre a DENOMINATORE hai che $ log_8(1+27^x \arctan(x)) $ \( \sim 27^x \arctan(x) \)
quindi, riassumendo il tutto hai
con $ f(x)=((log_2(1+3^x))^3)/(log_8(1+27^x\arctan(x))) $
$ \lim_(x\to -\infty) f(x) $ \( \sim \) $ (27^x)/(27^x \arctan(x)) \to -2/pi $ per $x\to -\infty$
siccome a DENOMINATORE ti rimane $ \arctan(x) $
e saprai che $ \lim_(x\to -\infty)\arctan(x)=-\pi/2 $
facendo il reciproco.. trovi il risultato che ho scritto
Spero di essere stato chiaro
a me viene $-2/pi$
poiché allora ti dico.. siccome $ x\to -\infty $
a NUMERATORE hai che $ (log_2(1+3^x))^3 $ \( \sim (3^x)^3 \)
mentre a DENOMINATORE hai che $ log_8(1+27^x \arctan(x)) $ \( \sim 27^x \arctan(x) \)
quindi, riassumendo il tutto hai
con $ f(x)=((log_2(1+3^x))^3)/(log_8(1+27^x\arctan(x))) $
$ \lim_(x\to -\infty) f(x) $ \( \sim \) $ (27^x)/(27^x \arctan(x)) \to -2/pi $ per $x\to -\infty$
siccome a DENOMINATORE ti rimane $ \arctan(x) $
e saprai che $ \lim_(x\to -\infty)\arctan(x)=-\pi/2 $
facendo il reciproco.. trovi il risultato che ho scritto
Spero di essere stato chiaro
Si chiarissimo grazie!il risultato è quello che ho scritto prima perchè in sostanza si tratta di un esame d'università in cui la prof mette 4 valori e solo uno è quello giusto. So che è quello il risultato perchè l'ha indicato la prof stessa in fase di caricamento dei compiti passati. L'unico dubbio è perchè:
$(log_2(1+3^x))^3$
si approssima a
$(3^x)^3$
non dovrebbe essere la potenza del logaritmo e non dell'esponenziale?
Grazie ancora!
$(log_2(1+3^x))^3$
si approssima a
$(3^x)^3$
non dovrebbe essere la potenza del logaritmo e non dell'esponenziale?
Grazie ancora!
Scusate ma quei logaritmi non sono in base $e$
Considera che:
$log_(a)(1+f(x))=log(1+f(x))/(log(a))approxf(x)/ln(2),f(x)->0$
Ovviamente questo per $f(x)>0,a in(0, 1)cup(1,+infty)$
Dunque
$(log_2(1+3^x))^3approx3^(3x)/ln(2)^3,x->-infty$
$log_(8)(1+27^xarctanx)approx(27^xarctanx)/ln(8),x->-infty$
Quindi $lim_(x->-infty)(3^(3x)(3ln(2)))/(ln^3(2)(3^(3x)arctanx))=3/(ln^2(2)(-pi/2)$
Dunque $l=-6/(piln^2(2))$
Considera che:
$log_(a)(1+f(x))=log(1+f(x))/(log(a))approxf(x)/ln(2),f(x)->0$
Ovviamente questo per $f(x)>0,a in(0, 1)cup(1,+infty)$
Dunque
$(log_2(1+3^x))^3approx3^(3x)/ln(2)^3,x->-infty$
$log_(8)(1+27^xarctanx)approx(27^xarctanx)/ln(8),x->-infty$
Quindi $lim_(x->-infty)(3^(3x)(3ln(2)))/(ln^3(2)(3^(3x)arctanx))=3/(ln^2(2)(-pi/2)$
Dunque $l=-6/(piln^2(2))$
ponendo $t=3^x$ si ha per $t->0$ $(log_2 (1+t))^3~~(t/log2)^3=t^3/(log2)^3$, inoltre
$log_8 (1+t^3×(-(pi)/2))~~(t^3(-pi/2))/log8 $ pertanto si avrà
$(t^3/log^3(2))/((t^3 (-pi/2))/log(2^3))$ $=(-2/(pi)×3log2)/(log^3 (2)) $ $=(-6 )/(pilog^2 (2) )$
$log_8 (1+t^3×(-(pi)/2))~~(t^3(-pi/2))/log8 $ pertanto si avrà
$(t^3/log^3(2))/((t^3 (-pi/2))/log(2^3))$ $=(-2/(pi)×3log2)/(log^3 (2)) $ $=(-6 )/(pilog^2 (2) )$
mi trovo di più con la soluzione dell'utente anto_zoolander
chiedo scusa, mi sono dimenticato della formula del cambiamento di base
chiedo scusa, mi sono dimenticato della formula del cambiamento di base
Grazie a tutti ragazzi, siete stati fantastici!
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