Limite da esame

[ShaxV]

Salve a tutti, vorrei chiedervi un po' di aiuto riguardo il seguente limite di cui non riesco a "sciogliere" il denominatore in quanto non riesco a lavorare sul primo pezzo del denominatore, ho provato a sommare e sottrarre il coseno per raccogliere ma comunque non riesco ad ottenere nulla di meglio. Il limite è questo

$ lim_(x -> 0^+) [log(1+x^2)-3xsinx+2x^2]/[(x^(2x^2 +3x^3) cos(3x+2x^3) -1)^3 $

Di questo limite purtroppo non ho neanche il risultato visto che neanche Wolfram riesce a "calcolarlo"
Grazie in anticipo

[Oiram92]

Quel limite è una forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \frac{0}{(0^0-1)^3} \) , risolvendolo con Mathematica viene fuori che fa \(\displaystyle 0 \). Anche usando i limiti notevoli non credo si riesca a semplificare il problema al denominatore..Forse si potrebbe risolvere con de l'Hopital ma nemmeno quello mi sembra fattibile. Beh che dire, se procedi con de l'Hopital..buon divertimento

[unvecchietto]

Ciao ShaxV , allora analizziamo questo limite , butto giù qualche idea

$lim_(x->0^+) (x^2-1/2x^4−3x(x-1/6x^3)+2x^2)/(x^(2x^2+3x^3)(1-9/2x^2)−1)^3$

Ci vengono in aiuto quelli che sono gli sviluppi in serie

Sviluppiamo in serie fino al secondo ordine i seni , coseni e logaritmi. I rispettivi sviluppi sono

$sin(x)= x-1/6x^3 $
$cos(3x+2x^3)= 1-9/2x^2 $
$ log(1+x^2) = x^2-1/2x^4 $

Il nostro limite diventa così
$lim_(x->0^+)(x^2-1/2x^4−3x(x-1/6x^3)+2x^2)/(x^(2x^2+3x^3)(1-9/2x^2)−1)^3$

$lim_(x->0^+)(x^2-1/2x^4−3x^2+1/2x^4+2x^2)/((x^(2x^2+3x^3)-9/2(x^(2x^2+3x^3+2))−1)^3$

Consideriamo per semplicità $x^(2x^2+3x^3) $

Calcoliamo il rispettivo sviluppo in serie di Puiseux così da ottenere

$x^(2x^2+3x^3)= 1+2x^2ln(x) $


possiamo allora riscrivere il limite come:

$lim_(x->0^+)(x^2-1/2x^4−3x^2+1/2x^4+2x^2)/(1+(2x^2ln(x))-9/2(x^(2x^2+3x^3+2))−1)^3$

Al denominatore manteniamo il $ 9/2(x^(2x^2+3x^3+2)) $ perchè sostituendo ci ritroveremo $ 0^2 $ che non ci crea alcun problema, invece quel $x^(2x^2+3x^3)$ ci portava ad un $ 0^0$ che non ci piace proprio.

ci basterà adesso considerare

$lim_(x->0^+)(x^2-1/2x^4−3x^2+1/2x^4+2x^2)/((2x^2ln(x))-9/2(x^(2x^2+3x^3+2)))^3$

Prova a proseguire in questo modo...

[ShaxV]

Anche io avevo deciso di sviluppare con Taylor le altre funzioni, ma lo sviluppo in serie di Puiseux è la prima volta che lo sento e non credo di averlo mai fatto. Potresti spiegarmi come si utilizza o come aggirare il problema con altri metodi/ragionamenti ?

[francicko]

$x^(2x^2+3x^3)=e^ ((2x^2+3x^3)logx)$ $~~e^((2x^2)logx)~~(1+2x^2logx) $,sviluppo di Taylor arrestato al primo termine (asintotico).