Limite- correggetemi se sbaglio
l?ho risolto da me e l'ho dettagliato.. per vedere se facciao delle gaf di cui neanche me ne accorgo vi chiedo di supervisionarlo. Grazie mille.
lim x->0 [ sqrt^3(1+x) - cos^2(x) ] / [e^2x - cos(x) -sen^2(x) ]=
ove sqrt^3(1+x) indica la radice cubica di 1+x.
N.B: all'inizio del calcolo del limite la PRIMA cosa da verificare è che si tratti di una forma INDETERMINATA, prima di buttarsi nei calcoli. Questo lim da' forma inteterminata 0/0.
Per risolverlo con i limiti notevoli, occorre innanzitutto impararli a mo' di lista della spesa; in questo limite ci serviranno i seguenti lim notevoli
lim x-->0 [(1+x)^a - 1]/x = a ove al posto di x e questo lo dico per altre situazioni in cui può applicarlo, ci può stare qualsiasi altra funzione che va a 0 quando x va a 0.
lim x->0 (e^x - 1)/x = 1
il limite che dobbiamo risolvere è:
llim x->0 [ sqrt^3(1+x) - cos^2(x) ] / [e^2x - cos(x) -sen^2(x) ]=
MEDIANTE AGGIUNTA E SOTTRAZIONE DI COSTANTI, CI RICONDUCIAMO AI LIMITI NOTEVOLI A NUMERATORE, E A DENOMINATORE. In altre parole trattiamo numeratore e denominatore come se fossero separati... poi alla fine verifichiamo che nn si tratta di una forma indeterminata il loro rapporto, e concludiamo che il limite vale tot.
A NUMERATORE, per ricondurci al limite notevole
lim x-->0 [(1+x)^a - 1]/x = a , aggiungiamo e sottraiamo 1, moltiplichiamo e dividiamo per x, in modo da non alterare la quantità in termini numerici, ma trasformarcela come limite notevole. Si ha
{[(1+x)^1/3 -1 +1]/x} *x -cos^2(x)
ora con banale applicazione del limite notevole quella roba diventa
1/3 * x + 1 - cos^2(x) = 1/3 * x + sen^2(x) <== N.B questo è il nostro NUMERATORE
A DENOMINATORE abbiamo
e^2x - cos(x) -sen^2(x)
aggiungiamo e sottraiamo 1, moltiplichiamo e dividiamo per 2*x per ricondurci al limite notevole della e, vale a dire che il nostro denominatore diventa:
e^2x - cos(x) -sen^2(x) = {[e^2x -1 + 1]/2x} * 2x - cos(x) -sen^2(x)=
ora sai che
lim x->0 [e^2x - 1]/2x = 1 dunque tutta questa robaccia
{[e^2x -1 + 1]/2x} * 2x = 2
dunque a DENOMINATORE abbiamo [ 2 - cos(x) - sen^2(x)]
il limite iniziale diventa:
lim x->0 [1/3 * x + sen^2(x)] / [ 2 - cos(x) - sen^2(x)] = 0/1 = 0
abbiamo così risolto la FORMA INDETERMINATA.
LIMITE FINITO
lim x->0 [ sqrt^3(1+x) - cos^2(x) ] / [e^2x - cos(x) -sen^2(x) ]=
ove sqrt^3(1+x) indica la radice cubica di 1+x.
N.B: all'inizio del calcolo del limite la PRIMA cosa da verificare è che si tratti di una forma INDETERMINATA, prima di buttarsi nei calcoli. Questo lim da' forma inteterminata 0/0.
Per risolverlo con i limiti notevoli, occorre innanzitutto impararli a mo' di lista della spesa; in questo limite ci serviranno i seguenti lim notevoli
lim x-->0 [(1+x)^a - 1]/x = a ove al posto di x e questo lo dico per altre situazioni in cui può applicarlo, ci può stare qualsiasi altra funzione che va a 0 quando x va a 0.
lim x->0 (e^x - 1)/x = 1
il limite che dobbiamo risolvere è:
llim x->0 [ sqrt^3(1+x) - cos^2(x) ] / [e^2x - cos(x) -sen^2(x) ]=
MEDIANTE AGGIUNTA E SOTTRAZIONE DI COSTANTI, CI RICONDUCIAMO AI LIMITI NOTEVOLI A NUMERATORE, E A DENOMINATORE. In altre parole trattiamo numeratore e denominatore come se fossero separati... poi alla fine verifichiamo che nn si tratta di una forma indeterminata il loro rapporto, e concludiamo che il limite vale tot.
A NUMERATORE, per ricondurci al limite notevole
lim x-->0 [(1+x)^a - 1]/x = a , aggiungiamo e sottraiamo 1, moltiplichiamo e dividiamo per x, in modo da non alterare la quantità in termini numerici, ma trasformarcela come limite notevole. Si ha
{[(1+x)^1/3 -1 +1]/x} *x -cos^2(x)
ora con banale applicazione del limite notevole quella roba diventa
1/3 * x + 1 - cos^2(x) = 1/3 * x + sen^2(x) <== N.B questo è il nostro NUMERATORE
A DENOMINATORE abbiamo
e^2x - cos(x) -sen^2(x)
aggiungiamo e sottraiamo 1, moltiplichiamo e dividiamo per 2*x per ricondurci al limite notevole della e, vale a dire che il nostro denominatore diventa:
e^2x - cos(x) -sen^2(x) = {[e^2x -1 + 1]/2x} * 2x - cos(x) -sen^2(x)=
ora sai che
lim x->0 [e^2x - 1]/2x = 1 dunque tutta questa robaccia
{[e^2x -1 + 1]/2x} * 2x = 2
dunque a DENOMINATORE abbiamo [ 2 - cos(x) - sen^2(x)]
il limite iniziale diventa:
lim x->0 [1/3 * x + sen^2(x)] / [ 2 - cos(x) - sen^2(x)] = 0/1 = 0
abbiamo così risolto la FORMA INDETERMINATA.
LIMITE FINITO
Risposte
L'argomentazione e' dettagliata, ma non completamente corretta. Ad esempio, sei passato al limite al numeratore in un addendo e lasciando l'altro invariato. Questo potrebbe dare problemi se uno dei due limiti non esiste.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
sì, hai ragione.
Quindi in questi casi, volendolo risolvere con i soli limiti notevoli, come si procede? Credo che ho le idee un pò confuse.
E' giusta l'idea di calcolare num e denom a parte a mettere insieme dopo il tutto?
Se applico un limite notevole a numeratore per un addendo, devo farlo nello stesso momento anche per l'altro? NN si sfrutta il fatto che il limite di una somma è = alla somma dei limiti?
ciao
Quindi in questi casi, volendolo risolvere con i soli limiti notevoli, come si procede? Credo che ho le idee un pò confuse.
E' giusta l'idea di calcolare num e denom a parte a mettere insieme dopo il tutto?
Se applico un limite notevole a numeratore per un addendo, devo farlo nello stesso momento anche per l'altro? NN si sfrutta il fatto che il limite di una somma è = alla somma dei limiti?
ciao
Si, e' corretto sfruttare quello, ma devi scriverlo meglio. Calcoli separatamente i limiti dei due addendi, verifichi che esistono, che esiste la loro somma, e quindi usi la regola di calcolo secondo la quale il limite di una somma e' la somma dei limiti.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
beh io non ho Derive. Qualcuno di buona volontà può verificare il risultato?
grazie
grazie
Come ha detto Luca penso che il tuo ragionamento sia sbagliato.
Il risultato dato da Derive è infatti 1/6.
Io svilupperei in serie numeratore e denominatore.
Il risultato dato da Derive è infatti 1/6.
Io svilupperei in serie numeratore e denominatore.
Si', il metodo piu' veloce in questo caso e' sicuramente Taylor. Non vedo pero' gli o piccolo. Anche la dimostrazione di leonardo non e' completamente corretta.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca non ho fatto una dimostrazione "rigorosa", ho applicato soltanto Taylor.
Si', ma non puoi arrestarti e dimenticare gli o piccolo. Se essi rimangono e non vanno via non te ne puoi liberare. Potrebbe anche essere sbagliato il risultato, parecchi esempi mostrano che se dimentichi gli o piccolo ottieni cose assurde.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Ecco come io ho calcolato il limite.
Tanto ci voleva?
Tanto ci voleva?
Ecco, questo e' un calcolo completo e corretto; bravo Fireball.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Grazie Luca!!! [;)]
Sul foglio di carta su cui ho calcolato
il limite ho scritto addirittura solo due passaggi,
mentre qui ho dovuto scriverne di più per spiegare meglio.
Sul foglio di carta su cui ho calcolato
il limite ho scritto addirittura solo due passaggi,
mentre qui ho dovuto scriverne di più per spiegare meglio.
Complimenti , Fireball , veramente bravo !
Camillo
Camillo
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