Limite con uguaglianza asintotica

[Raffit]

Ciao a tutti. Ho questo esercizio

$lim_(x->infty) log(x^3+ pie^x)/(xlogx) $

Io ho pensato: siccome il logaritmo a numeratore si comporta come la x quando tende a infinito allora posso sostituirlo con x. Quindi semplifico con la x al denominatore e resta 1/infinito che fa 0. Ho serissimi dubbi su questo mio ragionamento. Potete dirmi se è giusto o sbagliato? Grazie

[Riccardo Desimini]

Io son d'accordo con te.

[Plepp]

Ho serissimi dubbi su questo mio ragionamento.

Perché non provi a dimostrare la sua validità? Questa sarà provata se mostri che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x^3+\pi e^x)}{x}\in \mathbb{R}^\ast\]

[Raffit]

"Plepp":

Ho serissimi dubbi su questo mio ragionamento.

Perché non provi a dimostrare la sua validità? Questa sarà provata se mostri che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x^3+\pi e^x)}{x}\in \mathbb{R}^\ast\]

Scusa ma non ho capito... cos'è quell'asterisco sulla R? e dov'è finito il logaritmo a denominatore?

[giuscri]

"Raffit":[quote="Plepp"]Questa sarà provata se mostri che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x^3+\pi e^x)}{x}\in \mathbb{R}^\ast\]

Scusa ma non ho capito... cos'è quell'asterisco sulla R? e dov'è finito il logaritmo a denominatore?[/quote]

Per quanto mi riguarda, \(\mathbb{R}^{*}\) indica l'intervallo
\[ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]
Credo che la direzione verso cui ti voglia spingere Plepp sia di mostrare che -come dici tu- quel \(\log\) si comporta come \(x\) -andando molto in la'. Cioe' che
\[\log {x^3+ \pi e^x} \to \mathcal{c} \cdot x \qquad 0 \neq \mathcal{c} \neq +\infty\]

In tal caso, saresti sicuro della tua intuizione; cioe' che
\[\frac{\log x^3+ \pi e^x}{x \log{x}} \sim [ \,?\, ] \to 0\]

[Raffit]

"giuscri":[quote="Raffit"][quote="Plepp"]Questa sarà provata se mostri che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x^3+\pi e^x)}{x}\in \mathbb{R}^\ast\]

Scusa ma non ho capito... cos'è quell'asterisco sulla R? e dov'è finito il logaritmo a denominatore?[/quote]

Per quanto mi riguarda, \(\mathbb{R}^{*}\) indica l'intervallo
\[ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]
Credo che la direzione verso cui ti voglia spingere Plepp sia di mostrare che -come dici tu- quel \(\log\) si comporta come \(x\) -andando molto in la'. Cioe' che
\[\log {x^3+ \pi e^x} \to \mathcal{c} \cdot x \qquad 0 \neq \mathcal{c} \neq +\infty\]

In tal caso, saresti sicuro della tua intuizione; cioe' che
\[\frac{\log x^3+ \pi e^x}{x \log{x}} \sim [ \,?\, ] \to 0\][/quote]

Mmm.. facendo il limite a infinito di $log (x^3+ \pi e^x$) viene infinito quindi non dovrebbero esserci problemi, o sbaglio??

[giuscri]

"Raffit":Mmm.. facendo il limite a infinito di $log (x^3+ \pi e^x)$ viene infinito quindi non dovrebbero esserci problemi, o sbaglio??

Di problemi non ce ne sono, ma sei ad acqua rispetto a quanto volevi verificare. Quando dicevi, all'inizio della discussione, che \( \log {x^3+ \pi e^x}\) si comporta come \(x\), cosa volevi dire? Che andavano entrambe a \(+\infty\)? Nel caso il tuo ragionamento sarebbe stato corretto per puro caso -esiste qualcosa che i professori chiamano gerarchia di infiniti.

Qual e' il tuo problema originale? Non sapere se \(\log{x^3+ \pi e^x} \approx x\), giusto? Fa un rapporto (i.e. quantifica i due tassi di crescita): se ottieni una costante, puoi flippare opportunamente quel \(\log\) con la \(x\); se ottieni \(0\) o \(\infty\), no: una delle due si stacca dall'altra troppo velocemente.

In particolare otterrai che
\[ \log {(x^3+ \pi e^x)} \approx \log {\pi e^x} \equiv \log{\pi} + x \approx x\]
con \(x \in U(+\infty)\).

Quindi, si:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\log{x^3+ \pi e^x}}{x \cdot \log{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{x}} = 0^+ \]

A che pensi?