Limite con teorema del dini
Salve ragazzi mi è venuto un dubbio sul calcolo del limite della funzione implicita ho già verificato le ipotesi del teorema e sono tutte rispettate nell'intorno del punto $ P=(0,1) $ quindi dal teorema del Dini posso dire che $ y(x_0)=y_0 $ cioè
$ y(0)=1 $ successivamente mi viene richiesto di calcolare il seguente limite $ lim_(x->0)(y(x)+3x)/x^2 $ ho pensato che pur non conoscendo l'espressione di $ y(x) $ il teorema mi assicura che $ y(0)=1 $ quindi facendo tendere a zero il limite diventa $ lim_(x->0)(y(x)+3x)/x^2=1/0=+oo $ è corretto o devo necessariamente passare per lo sviluppo polinomiale ? un'altra domanda su cui ho alcuni dubbi è circa la concavità nel punto basta calcolare $ y''(x_0) $ e osservare che se fosse $ y''(x_0)<=0 $ ho concavità verso il basso e se fosse $ y''(x_0)>0 $ verso l'alto ?
$ y(0)=1 $ successivamente mi viene richiesto di calcolare il seguente limite $ lim_(x->0)(y(x)+3x)/x^2 $ ho pensato che pur non conoscendo l'espressione di $ y(x) $ il teorema mi assicura che $ y(0)=1 $ quindi facendo tendere a zero il limite diventa $ lim_(x->0)(y(x)+3x)/x^2=1/0=+oo $ è corretto o devo necessariamente passare per lo sviluppo polinomiale ? un'altra domanda su cui ho alcuni dubbi è circa la concavità nel punto basta calcolare $ y''(x_0) $ e osservare che se fosse $ y''(x_0)<=0 $ ho concavità verso il basso e se fosse $ y''(x_0)>0 $ verso l'alto ?
Risposte
Premettendo che la punteggiatura è stata inventata... qual è la funzione di partenza?
Mi scuso per la punteggiatura la funzione di partenza è $ f(x,y)=(x+y)e^(xy)+xy-1 $
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