Limite con taylor o de l'hopital??

[smaug1]

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \) della funzione:

\(\displaystyle \frac{(4x - x^2)^{\frac{1}{2}}-2}{1 - cos(x\pi)}\)

ho pensato di utilizzare de l'hopital mi viene:

\(\displaystyle - \frac{(x-2)}{\pi \sqrt{4x - x^2} sen(x\pi)} \) è una buona strada?

posso dire che \(\displaystyle sen(x\pi) \sim x\pi \)? e quindi dire che

\(\displaystyle - \frac{(x-2)}{x\pi^2 \sqrt{4x - x^2}} \)\(\displaystyle ? \)

devo utilizzare di nuovo de l'hopital?? quanto odio queste derivate..

[Seneca1]

Non è per niente una buona strada. Guarda qui:

$y = x - 2$

$lim_(y -> 0) (( 4y + 8 - (y + 2)^2 )^(1/2) - 2)/( 1 - cos(pi *(y + 2) )) =$

$lim_(y -> 0) (( 4y + 8 - y^2 - 4 - 4 y )^(1/2) - 2)/( 1 - cos(pi * y)) =$

$lim_(y -> 0) (( 4 - y^2 )^(1/2) - 2)/( 1 - cos(pi * y))$


Poiché $1 - cos( pi y ) = pi^2/2 y^2 + o(y^2)$

e poiché $( 4 - y^2 )^(1/2) - 2 = 2 sqrt( 1 - y^2/4) - 2 = 2 ( sqrt( 1 - y^2/4 ) - 1 ) = 2 * ( -y^2/4 * 1/2 + o( y^2) )$
(sempre il solito limite notevole...)

$ = - y^2/4 + o( y^2)$

Il limite diventa:

$lim_(y -> 0) (- y^2/4 + o( y^2))/( pi^2/2 y^2 + o(y^2)) = lim_(y -> 0) (- 1/4 + (o( y^2))/y^2)/( pi^2/2 + (o( y^2))/y^2) = - 1/(2 pi^2)$

[Seneca1]

Generalmente anche io odio le derivate delle radici, quindi cerco strade alternative.

[smaug1]

Seneca sei bravissimo perchè riesci a farmi capire facilmente tutto ciò che chiedo!!! ti devo ringraziare...però una sola curiosità, quando hai usato il solito limite notevole che spesso mi hai scritto, ho ovviamente capito come fai a ricondurti ad esso, mettendo fuori radice il \(\displaystyle 4\), ma la "formula" è precisamente questa?? \(\displaystyle \frac{(1 + y)^{k} - 1}{y } \)\(\displaystyle = k \) credo che non sia proprio come io l'ho scritta vero? quando tu la usi non capisco dove sarebbe la \(\displaystyle y \) del denominatore del limite...

[smaug1]

comunque nel punto che ti ho detto è uguale utilizzare lo sviluppo di taylor fino al grado \(\displaystyle n=1 \) no?

[Quinzio]

Si può anche razionalizzare la radice, moltiplicando per $\sqrt(4x-x^2)+2$

[Seneca1]

"davidedesantis":comunque nel punto che ti ho detto è uguale utilizzare lo sviluppo di taylor fino al grado \(\displaystyle n=1 \) no?

Certamente.

Per l'altra domanda: dal limite notevole ricavi un'approssimazione piuttosto grossolana della tua funzione in questa maniera (qualche volta è sufficiente questa, altre volte è necessario ricorrere alla formula di Taylor):

$lim_(y -> 0) ((1 + y)^k - 1)/y = k$

che è tanto come dire $ ((1 + y)^k - 1)/y = k + o(1)$, dove $o(1)$ è una funzione che è infinitesima per $y -> 0$.

A questo punto, moltiplicando per $y$ ambo i membri, hai: $(1 + y)^k - 1 = k y + o (y)$. Cioè hai ottenuto che, in un intorno di $y = 0$ puoi approssimare $(1 + y)^k - 1$ con $k y + "un resto"$, ed il resto è un $o(y)$.