Limite con Taylor o de l'Hopital

[espa28]

Ciao a tutti ho qualche problema con questo esercizio:

$ lim_(x -> 2pi) (sin x/(x-2pi))^(1/log (cos x)) $

applicando la regola $ f(x)^(g(x))=e^{g(x)log(f(x))} $ ottengo

$ lim_(x -> 2pi) log(sinx/(x-2pi))/log(cosx) $

ma a questo punto sia applicando gli sviluppi in serie di Taylor che de l'Hopital mi trovo in difficoltà con il termine x-2pi.
Il risultato dovrebbe essere $ e^{1/3} $ .
Avete cortesemente suggerimenti da darmi.
Grazie.

[walter891]

la regola è giusta ma hai sbagliato un passaggio ad applicarla, deve venire così
$lim_(x to 2pi) log(sinx)/((x-2pi)log(cosx))$

[Seneca1]

$ lim_(x -> 2pi) (sin x/(x-2pi))^(1/log (cos x)) = lim_(x -> 2pi) e^((log(sin x/(x-2pi)))/(log (cos x)) $

[espa28]

...Seneca fino a quel punto quindi ci siamo...il problema è dopo...in qualsiasi modo
provo a risolverlo ho sempre il termine $x-2pi$ che mi crea problemi.
Grazie.

[Seneca1]

"Seneca":$ lim_(x -> 2pi) (sin x/(x-2pi))^(1/log (cos x)) = lim_(x -> 2pi) e^((log(sin x/(x-2pi)))/(log (cos x)) $

$lim_(x -> 2pi) e^((log(sin x/(x-2pi)))/(log (cos x)) $

Poni $t = x - 2pi$

Per $x -> 2pi$, $t -> 0$

Sostituisci:

$lim_(t -> 0) e^((log(sin(t + 2pi)/(t)))/(log (cos(t + 2pi))) $


NB : Seno e coseno sono funzioni periodiche.

[regim]

A partire da quanto ha scritto seneca, applichi un paio di volte de l'hopital all'esponente e hai la soluzione, solo che il limite mi viene $e^(-1/3)$ ciao

edit: comunque il limite è $e^(1/3)$, avrò tralasciato un meno uno evidentemente.

[Raptorista1]

Anche senza sostituire, poiché sono periodiche, $sin(x)=sin(x-2\pi)$

[espa28]

$lim_(t -> 0) e^((log(sin(t + 2pi)/(t)))/(log (cos(t + 2pi))) $


Partendo da qui considerando che il seno e il coseno sono periodici ho

$ lim_(t -> 0) e^((log(sin(t)/(t)))/(log (cos(t))) $

proseguendo ho applicato Taylor quindi $ lim_(t -> 0) e^((log((t-(1/6)t^(3)) /(t)))/(log (1-(1/2)t^(2) )) $

$ lim_(t -> 0) e^(log(1-(1/6)t^(2))/(log (1-(1/2)t^(2) )) $ e quindi $ lim_(t -> 0) e^(((1/6)t^(2))/((1/2)t^(2)) ) $

da cui ricavo $ e^(1/3) $ ....dovrei esserci

Grazie a tutti per l'aiuto.
Ciao.