Limite con taylor e variabile

[Jaeger90]

Salve, vorrei chiedere un semplice suggerimento riguardo all'ultimo passaggio di un esercizio, dove viene fissato un $a>0$ che varia.
Ho:
$lim_(x->0^+) (2-x-2cossqrtx)/sqrt(x^a+senx^a)$
Dopo aver sviluppato con MCLaurin il coseno e aver raccolto a fattor comune finisco con l'avere, essendo $x^a>0$, ed $x>0$ in quanto tendente da destra:
$lim_(x->0^+) (-x^2/12+o(x^(5/2)))/(x^(a/2)*sqrt(1+(senx^a)/x^a))$
A questo punto so che $(senx^a)/x^a rarr 1$ per il limite notevole.
E ora non so come trovare i possibili risultati. Prima di tutto perchè non so se e come influisce $sqrt2$, e poi ho qualche dubbio riguardo l'o piccolo. Infatti pensavo che per poter avere un risultato, si devono approssimare numeratore e denominatore allo stesso grado e quindi si deve avere lo stesso grado di o piccolo.
Tuttavia se $a>0$ allora l'o piccolo al denominatore, che non c'è, può essere considerato più grande di quello a numeratore se $a>4$... e quindi avrei il numeratore approssimato troppo rispetto al denominatore.
Qualche chiarimento?

[Obidream]

Non ho capito perché al numeratore hai scritto $o(x^(5/12))$, penso sia un refuso o qualcosa del genere... Comunque al di là del resto lo sviluppo è giusto:

$lim_(x->0^+) (-x^2/12+o(x^2))/(x^(a/2)*sqrt(1+sin(x^a)/x^a))$

Allora, arrivato a questo punto io direi di raccogliere $x^2$ al numeratore:

$lim_(x->0^+) (x^2(-1/12+o(1)))/(x^(a/2)*sqrt(1+sin(x^a)/x^a))$

Mi dici cosa succede quando $0 < a < 4$ a questo limite?

Quando $a=4$?

Quando $a>4$?

[Bokonon]

$lim_(x->0^+) (2-x-2cossqrtx)/sqrt(x^a+senx^a)=lim_(x->0^+) [((2(1-cossqrt(x))/x)-1)x^(1-a/2)]/sqrt(1+(senx^a)/x^a)$
Per $0

Cita

Segnala

[Jaeger90]

"Obidream":Non ho capito perché al numeratore hai scritto $o(x^(5/12))$, penso sia un refuso o qualcosa del genere...

Errore mio, volevo scrivere $o(x^(5/2))$, che anche la soluzione riporta come corretto. Devo comunque approssimarlo a un $o(x^2)$?

[Obidream]

"Jaeger90":[quote="Obidream"]Non ho capito perché al numeratore hai scritto $o(x^(5/12))$, penso sia un refuso o qualcosa del genere...

Errore mio, volevo scrivere $o(x^(5/2))$, che anche la soluzione riporta come corretto. Devo comunque approssimarlo a un $o(x^2)$?[/quote]
Sono corretti entrambi, ma dovresti sapere già il perché:

$x->0^+$

$cos(sqrt(x)) = 1-sqrt(x)^2/2+sqrt(x)^4/24+o(sqrt(x)^4)$

$cos(sqrt(x)) = 1-sqrt(x)^2/2+sqrt(x)^4/24+o(sqrt(x)^5)$

[Jaeger90]

"Obidream":Non ho capito perché al numeratore hai scritto $o(x^(5/12))$, penso sia un refuso o qualcosa del genere... Comunque al di là del resto lo sviluppo è giusto:

$lim_(x->0^+) (-x^2/12+o(x^2))/(x^(a/2)*sqrt(1+sin(x^a)/x^a))$

Allora, arrivato a questo punto io direi di raccogliere $x^2$ al numeratore:

$lim_(x->0^+) (x^2(-1/12+o(1)))/(x^(a/2)*sqrt(1+sin(x^a)/x^a))$

Mi dici cosa succede quando $0 < a < 4$ a questo limite?

Quando $a=4$?

Quando $a>4$?

Okay ne approfitto per chiarire qualche dubbio "minore".
Quando finisco un limite, devo sempre raccogliere la x dell'o piccolo in modo da avere un $o(n)$ e nessun $o(x^n)$ in quanto è quella l'espressione corretta per avere un risultato preciso, e quando nell'ultimo passaggio viene lasciato $o(x^n)$ in realtà credo sia "errato" (e il passaggio in realtà è sottointeso ma non superfluo) in quanto si lascia un'espressione che per dare un risultato finito deve essere prima elaborata tramite raccoglimento, vero?
Cioè non è corretto se si arriva come risultato finale a $n+o(x^m)$ ma si deve arrivare ad avere $n+o(m)$

Ciò detto mi risulta:

$a=4 rarr lim_(x->0^+) f(x)=-1/(12*sqrt2)+o(1)$

$00^+) f(x)=0^-$

$a>4 rarr lim_(x->0^+) f(x)=-oo$