Limite con taylor e dubbi sullo sviluppo di funzioni composte

[alessi0_r1]

Salve un limite che non mi riesce e ho dei dubbi sullo sviluppo di alcune funzioni composte.
Il limite in questione è:

$ lim_(x -> (pi/2)^(-))(sinx-1)e^tanx $

io sono partito ponendo $ x=pi/2-y $ quindi il limite diventa: $ lim_(x -> 0^(-)) (cos(y)-1)e^(1/tan(y)) $

ora i miei dubbi vengono quando devo sviluppare $ e^(1/tan(y)) $.In questo caso non dovrei usare prima lo sviluppo della tangente e poi quello di $ 1/(1-x) $?

[Clorinda1]

"alessi0_r":Salve un limite che non mi riesce e ho dei dubbi sullo sviluppo di alcune funzioni composte.
Il limite in questione è:

$ lim_(x -> (pi/2)^(-))(sinx-1)e^tanx $

io sono partito ponendo $ x=pi/2-y $ quindi il limite diventa: $ lim_(x -> 0^(-)) (cos(y)-1)e^(1/tan(y)) $

ora i miei dubbi vengono quando devo sviluppare $ e^(1/tan(y)) $.In questo caso non dovrei usare prima lo sviluppo della tangente e poi quello di $ 1/(1-x) $?

Ciao!
Io mi limiterei a sviluppare come segue:
$(\sinx-1)e^\tanx =e^(\tan(x)) (-1/2 (x-\pi/2)^2+1/24 (x-\pi/2)^4-1/720 (x-\pi/2)^6+O((x-\pi/2)^7))$.
Poi si va a fare il limite
$ lim_(x -> (pi/2)^(-))e^(\tan(x)) (-1/2 (x-\pi/2)^2+1/24 (x-\pi/2)^4-1/720 (x-\pi/2)^6+O((x-\pi/2)^7)$.
Tenendo conto del fatto che: $ lim_(x -> (pi/2)^(-)) (-1/2 (x-\pi/2)^2+1/24 (x-\pi/2)^4-1/720 (x-\pi/2)^6+O((x-\pi/2)^7)= 0^{-}$ allora: $ lim_(x -> (pi/2)^(-))(sinx-1)e^tanx = -\infty.$

[alessi0_r1]

Ho capito grazie mille pensavo che era meglio sostituire...mentre per il discorso dello sviluppo di taylor di $ 1/tan(x) $ ? Era giusto nel caso?

[Clorinda1]

"Clorinda":[quote="alessi0_r"]

ora i miei dubbi vengono quando devo sviluppare $ e^(1/tan(y)) $.In questo caso non dovrei usare prima lo sviluppo della tangente e poi quello di $ 1/(1-x) $?

[/quote]

Se si deve sviluppare $e^(1/tan x)$ in serie di Taylor, in $x_0=0$ direi che si può porre inizialmente $tan x= t$.
Quindi ci si riduce a dover sviluppare $e^(1/t) \approx 1+1/t+1/(t^2)+..$.
Poi si sviluppa $tan x= x+x^3/3+(2 x^5)/15+O(x^6)$ e infine si sostituisce:
$e^{1/tan(x)} \approx 1+\frac{1}{x+x^3/3+(2 x^5)/15}+\frac{1}{(x+x^3/3+(2 x^5)/15)^2}+..$.