Limite con taylor con parametro $ainRR$
salve a tutti,avrei questo limite:
$lim_(x->0)(e^(x^2)-e^((sin(x))^2))/(x^a*sin(x))$ con $ainRR$
cosa mi conviene fare in genere?,posso sviluppare prima i termini e poi valutare i casi di $a$?
ad esempio sviluppando al quarto ordine
$e^((sin(x))^2)=1+x^2+x^4/6+o(x^4)$
$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2$
il numertatore mi diventa
$N: 1+x^2+x^4/2-1-x^2-x^4/6 +0(x^4)= x^4/3+o(x^4)$ percui$lim_(x->0)(e^(x^2)-e^((sin(x))^2))/(x^a*sin(x))\sim(x^4/3+o(x^4))/(x^a*sin(x))$
ora quindi come mi conviene risolvere $lim_(x->0)(x^4/3+o(x^4))/(x^a*sin(x))$ ad esempio per $a=0$?in teoria dovrei sviluppare $sin(x)$ al quarto ordine giusto e in tal caso posso scrivere $x^a=1$?
$lim_(x->0)(e^(x^2)-e^((sin(x))^2))/(x^a*sin(x))$ con $ainRR$
cosa mi conviene fare in genere?,posso sviluppare prima i termini e poi valutare i casi di $a$?
ad esempio sviluppando al quarto ordine
$e^((sin(x))^2)=1+x^2+x^4/6+o(x^4)$
$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2$
il numertatore mi diventa
$N: 1+x^2+x^4/2-1-x^2-x^4/6 +0(x^4)= x^4/3+o(x^4)$ percui$lim_(x->0)(e^(x^2)-e^((sin(x))^2))/(x^a*sin(x))\sim(x^4/3+o(x^4))/(x^a*sin(x))$
ora quindi come mi conviene risolvere $lim_(x->0)(x^4/3+o(x^4))/(x^a*sin(x))$ ad esempio per $a=0$?in teoria dovrei sviluppare $sin(x)$ al quarto ordine giusto e in tal caso posso scrivere $x^a=1$?
Risposte
La cosa risulta molto più semplice: sviluppato il numeratore, fai lo stesso col denominatore, osservando che in particolare avrai
[tex]$x^\alpha\cdot\sin x=x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})$[/tex].
A questo limite la tua funzione risulta equivalente, in [tex]$x=0$[/tex] alla cosa seguente
[tex]$\frac{x^4/3+o(x^4)}{x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})}\sim \frac{x^{3-\alpha}}{3}+o(x^{3-\alpha})$[/tex]
per cui il limite vale
[tex]$\lim_{x\to 0} f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 3-\alpha>0\\ & & \\ \frac{1}{3} & & 3-\alpha=0\\ & & \\ \infty & & 3-\alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
[tex]$x^\alpha\cdot\sin x=x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})$[/tex].
A questo limite la tua funzione risulta equivalente, in [tex]$x=0$[/tex] alla cosa seguente
[tex]$\frac{x^4/3+o(x^4)}{x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})}\sim \frac{x^{3-\alpha}}{3}+o(x^{3-\alpha})$[/tex]
per cui il limite vale
[tex]$\lim_{x\to 0} f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 3-\alpha>0\\ & & \\ \frac{1}{3} & & 3-\alpha=0\\ & & \\ \infty & & 3-\alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
"ciampax":
[tex]$x^\alpha\cdot\sin x=x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})$[/tex].
ok fin qui ci sono
"ciampax":
A questo limite la tua funzione risulta equivalente, in [tex]$x=0$[/tex] alla cosa seguente
[tex]$\frac{x^4/3+o(x^4)}{x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})}\sim \frac{x^{3-\alpha}}{3}+o(x^{3-\alpha})$[/tex]
[/tex]
scusa forse non riesco a vedere qualche passaggio ma qui non ho capito,e poi se ho $\frac{x^4/3+o(x^4)}{x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1})}$ al limite di $x->0$ non è indeterminata a meno che gli $o$ piccoli non siano dello stesso ordine,ovvero per $a=3$?
ok ora ho capito.dovevo solo pensarci,solo che ci sono dei passi algebrici che non riesco a fare come nel nel caso di questo limite
$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)$
sviluppando i vari termini ho che il numeratore mi diventa:
$N:[2x-x^2+(2x^3)/3-x^4/2]+2[x^2-x^4/3]-2[x+x^3/3]-2x^3+o(x^4)=x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4)$
lo sviluppo di $ln(1+x^alpha)$ fino al quarto ordine è:
$x^alpha-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha))$
quindi$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)\sim lim_(x->0)(x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4))/(-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha)))$
il problema è che non riesco a disporre ora il numeratore e il denominatore per osservare cosa accade al variare di $alpha$,sei stato molto gentile,se potessi rispondere anche a questo te ne sarei veramente grato
$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)$
sviluppando i vari termini ho che il numeratore mi diventa:
$N:[2x-x^2+(2x^3)/3-x^4/2]+2[x^2-x^4/3]-2[x+x^3/3]-2x^3+o(x^4)=x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4)$
lo sviluppo di $ln(1+x^alpha)$ fino al quarto ordine è:
$x^alpha-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha))$
quindi$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)\sim lim_(x->0)(x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4))/(-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha)))$
il problema è che non riesco a disporre ora il numeratore e il denominatore per osservare cosa accade al variare di $alpha$,sei stato molto gentile,se potessi rispondere anche a questo te ne sarei veramente grato
....fattorizzando se non ho sbagliato i calcoli avrei che il limite diventa:
$lim_(x->0)(2x^(2(1-alpha))(6-12x-7x^2))/(3x^(2alpha)-4x^(alpha)+6)
i casi che mi interessano sono solo per $alpha-1$? poiche $3x^(2alpha)-4x^(alpha)$ vanno prima a 0 per $x->0$?
però $-4^alpha$ per $alpha$ negativo tenderebbe a meno infinito
In pratica non capisco quanti casi devo valutare
$lim_(x->0)(2x^(2(1-alpha))(6-12x-7x^2))/(3x^(2alpha)-4x^(alpha)+6)
i casi che mi interessano sono solo per $alpha-1$? poiche $3x^(2alpha)-4x^(alpha)$ vanno prima a 0 per $x->0$?
però $-4^alpha$ per $alpha$ negativo tenderebbe a meno infinito
In pratica non capisco quanti casi devo valutare
Ho capito: quello che ti manca è il concetto di parte principale. Allora, ti ricordo che se una funzione [tex]$f(x)$[/tex] risulta infinitesima in un punto [tex]$x_0$[/tex] allora se [tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{k(x-x_0)^\alpha}=1,\ k\in\mathbb{R},\ \alpha>0$[/tex] diciamo che [tex]$f(x)\sim k(x-x_0)^\alpha$[/tex] e [tex]$k(x-x_0)^\alpha$[/tex] si chiama parte principale della funzione in [tex]$x_0$[/tex].
A cosa serve, in soldoni? A calcolare i limiti: infatti, una volta che determini la parte principale di una funzione, puoi sostituirla nel limite ed usare questa per fare i calcoli (metodo del confronto locale). Cosa centra con gli sviluppi di Taylor? Bé, se scopri che [tex]$f(x)=kx^n+o(x^n)$[/tex] allora vuol dire che [tex]$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{kx^n}=1$[/tex] (provare per credere!). Ne segue che, ad esempio nel tuo caso, hai, sfruttando le parti principali di numeratore denominatore che calcoli dagli sviluppi,
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{-x^{2\alpha}/2}=-2\cdot\lim_{x\to 0} x^{2-2\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 2-2\alpha>0\\ & & \\ -2 & & 2-2\alpha=0\\ & & \\ \infty & & 2-2\alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
A cosa serve, in soldoni? A calcolare i limiti: infatti, una volta che determini la parte principale di una funzione, puoi sostituirla nel limite ed usare questa per fare i calcoli (metodo del confronto locale). Cosa centra con gli sviluppi di Taylor? Bé, se scopri che [tex]$f(x)=kx^n+o(x^n)$[/tex] allora vuol dire che [tex]$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{kx^n}=1$[/tex] (provare per credere!). Ne segue che, ad esempio nel tuo caso, hai, sfruttando le parti principali di numeratore denominatore che calcoli dagli sviluppi,
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{-x^{2\alpha}/2}=-2\cdot\lim_{x\to 0} x^{2-2\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 2-2\alpha>0\\ & & \\ -2 & & 2-2\alpha=0\\ & & \\ \infty & & 2-2\alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
ma è la stessa cosa se dico
$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)\sim lim_(x->0)(x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4))/(-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha)))=lim_(x->0)(x^2(1-2x-7x^2/6)+o(x^4))/(x^(2alpha)(-1/2+x^alpha/3-x^2alpha/4)+o(x^2alpha))$ che è uguale asintoticamente a
$-2lim_(x->0)(x^2+o(x^4))/(x^(2alpha)+o(x^2alpha))=-2lim_(x->0)x^(2-2alpha)+o(x^(2-4alpha))\sim -2lim_(x->0)x^(2-2alpha)$ ??
da cui i casi per $2-2alpha$..
inoltre(se non ho gia rotto abbastanza) volevo chiedere nel caso in cui il testo avesse precisato che $alphainRR+$ a quel punto avrei dovuto considerare solo gli $alpha$ positivi che sarebbero stati solo per $2-2alpha<0$ giusto?
$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)\sim lim_(x->0)(x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4))/(-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha)))=lim_(x->0)(x^2(1-2x-7x^2/6)+o(x^4))/(x^(2alpha)(-1/2+x^alpha/3-x^2alpha/4)+o(x^2alpha))$ che è uguale asintoticamente a
$-2lim_(x->0)(x^2+o(x^4))/(x^(2alpha)+o(x^2alpha))=-2lim_(x->0)x^(2-2alpha)+o(x^(2-4alpha))\sim -2lim_(x->0)x^(2-2alpha)$ ??
da cui i casi per $2-2alpha$..
inoltre(se non ho gia rotto abbastanza) volevo chiedere nel caso in cui il testo avesse precisato che $alphainRR+$ a quel punto avrei dovuto considerare solo gli $alpha$ positivi che sarebbero stati solo per $2-2alpha<0$ giusto?
"cappellaiomatto":
ma è la stessa cosa se dico
$lim_(x->0)(ln(1+2x)+2(sinx)^2-2tanx-2x^3)/(ln(1+x^alpha)-x^alpha)\sim lim_(x->0)(x^2-2x^3-(7x^4)/6+o(x^4))/(-(x^(2alpha))/2+(x^(3alpha))/3-(x^(4alpha))/4+o(x^(4alpha)))=lim_(x->0)(x^2(1-2x-7x^2/6)+o(x^4))/(x^(2alpha)(-1/2+x^alpha/3-x^2alpha/4)+o(x^2alpha))$ che è uguale asintoticamente a
$-2lim_(x->0)(x^2+o(x^4))/(x^(2alpha)+o(x^2alpha))=-2lim_(x->0)x^(2-2alpha)+o(x^(2-4alpha))\sim -2lim_(x->0)x^(2-2alpha)$ ??
da cui i casi per $2-2alpha$..
inoltre(se non ho gia rotto abbastanza) volevo chiedere nel caso in cui il testo avesse precisato che $alphainRR+$ a quel punto avrei dovuto considerare solo gli $alpha$ positivi che sarebbero stati solo per $2-2alpha<0$ giusto?
Sì a tutte e due le domande.
grazie mille davvero!
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