Limite con Taylor
Salve,
Ancora non ho ben chiaro come operare le sostituzioni attraverso sviluppo di Taylor. Per esempio:
Se ho
$\lim_{x\to 0} \frac{2\sin x-2\ln (1+x)-x^2}{x^3}$
nello sviluppo di Taylor di $sinx$ e $\ln (1+x)$ devo arrestarmi al termine di grado pari al denominatore (quindi 3) oppure a quello massimo del numeratore (cioè 2) ?
Ancora non ho ben chiaro come operare le sostituzioni attraverso sviluppo di Taylor. Per esempio:
Se ho
$\lim_{x\to 0} \frac{2\sin x-2\ln (1+x)-x^2}{x^3}$
nello sviluppo di Taylor di $sinx$ e $\ln (1+x)$ devo arrestarmi al termine di grado pari al denominatore (quindi 3) oppure a quello massimo del numeratore (cioè 2) ?
Risposte
Ovviamente al termine di grado pari al grado del denominatore: molto probabilmente, se ti fermi solo al second'ordine, infatti, ottieni soltanto $o(x^2)$ al numeratore: troppo poco come informazione.
Ah perfetto, adesso ho capito. Grazie!
Ma se invece dovessi calcolare:
$\lim_{x\to 0}\frac{6x-6(x+1)\ln (1+x)}{x^2(x+1)}$ ??
Ho provato a sostituire $\ln (x+1)\sim x-\frac{x^2}{2}$ ma i conti non tornano
$\lim_{x\to 0}\frac{6x-6(x+1)\ln (1+x)}{x^2(x+1)}$ ??
Ho provato a sostituire $\ln (x+1)\sim x-\frac{x^2}{2}$ ma i conti non tornano
Perchè sostituisci $ln(1+x)$ con $x-x^2/2$ ? Basta che lo sostituisci semplicemente con $x$, gli altri termini risultano irrilevanti.
Devi sempre fermarti al minimo utile per la tua funzione
tanto vicino allo $0$ non ti importa avere una grande precisione
Devi sempre fermarti al minimo utile per la tua funzione
tanto vicino allo $0$ non ti importa avere una grande precisione
Ok, ho risolto. Bastava arrestare la sostituzione alla $x$
EDIT: Non avevo visto la risposta. Grazie comunque!!!
EDIT: Non avevo visto la risposta. Grazie comunque!!!
Nel caso in cui dovessi invece calcolare....
$\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x^{\alpha}+x}$ in cui $\alpha>0$,
mi domando se con $\alpha\in \mathbb{R}_{+}-{1}$ dovrei sostituire $\ln (1+x)$ con $\frac{x^n}{n}(-1)^{n-1}$ con $n\ge \alpha$ ??? Sono un pò confuso (per non dire molto O_O)
$\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x^{\alpha}+x}$ in cui $\alpha>0$,
mi domando se con $\alpha\in \mathbb{R}_{+}-{1}$ dovrei sostituire $\ln (1+x)$ con $\frac{x^n}{n}(-1)^{n-1}$ con $n\ge \alpha$ ??? Sono un pò confuso
(per non dire molto O_O)
Ti ritrovi $x/(x^(\alpha)+x)$, che per $\alpha$ positivo tende a $0$ se $0<= \alpha<1 $
e a $1$ se $1<\alpha
$\alpha=1 -> 1/2$
e a $1$ se $1<\alpha
$\alpha=1 -> 1/2$
Ah, però noi solitamente, quando troviamo a denominatore di una frazione un infinitesimo di un certo grado, non tendiamo a sostituire fino ad un termine di grado confrontabile col denominatore?
Non so se sono stato chiaro nel porre la domanda.
Non so se sono stato chiaro nel porre la domanda.
Ho aggiunto anche il caso $\alpha=1$.
Sostituire cosa? Dici con Taylor? Tu devi sostituire con Taylor il più piccolo valore possibile, perchè è quello più vicino possibile allo $0$
Sostituire cosa? Dici con Taylor? Tu devi sostituire con Taylor il più piccolo valore possibile, perchè è quello più vicino possibile allo $0$
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